Um dieses Problem zu lösen, zögerte der berühmte Mathematiker nicht, ...

Vor kurzem habe ich eine neue Kurve gelernt – die Zykloide. Kommen Sie vorbei und schauen Sie es sich gemeinsam mit mir an, Sie werden auch begeistert sein.

Ich denke, dass die meisten Formen, die wir kennen, im Alltag immer wieder auftauchen und es schwierig ist, neue Formen zu entdecken. Wir kennen Quadrate, Kreise und Dreiecke seit der Grundschule und später lernten wir Hyperbeln, Ellipsen und Sinuskurven kennen, aber viele Menschen kennen diese Form nicht ... das ist die erstaunliche Form, die ich vor kurzem entdeckt habe – die Zykloide. Als nächstes werde ich diese neue Form mit Ihnen lernen.

Was ist eine Trochoide?

In Wikipedia wird eine Zykloide wie folgt definiert: „Die Bahnkurve eines Punktes auf dem Rand eines Kreises, der auf einer geraden Linie rollt, ohne zu rutschen.“ Dies ist möglicherweise mit dem folgenden animierten Bild intuitiver:

Die Zykloide ist die rote Flugbahn, die ein Punkt auf der Grenze zurücklegt, wenn der Kreis entlang dieser geraden Linie rollt. Ist das die Zykloide? Einfach, oder? nicht wirklich.

Geschichte der Trochoide

Die Trochoide wird manchmal als „Helena der Geometer“ bezeichnet, da sie unter Mathematikern für große Kontroversen sorgt, unter anderem darüber, wer diese Form entdeckt hat.

Einer der ersten Kandidaten war Iamblichus (245–325 v. Chr.), der Biograph des Pythagoras. Zu den weiteren Kandidaten gehörten der Deutsche Nikolaus von Kues (1401–1464 n. Chr.), der Franzose Charles de Bovelles (1475–1566), der Italiener Galileo Galilei (1564–1642), der Franzose Marin Mersenne (1588–1648) und viele andere Gelehrte. Aber niemand ist sicher, wer die Zykloide zuerst entdeckt hat.

Iambrichos war ein antiker griechischer Philosoph, Trendsetter der Toga und (möglicherweise) Entdecker der Trochoide, obwohl ihm der Ruhm der Trochoide offenbar keine eigene Marmorbüste erlaubte.

(Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Iamblichus)

Ich glaube, die meisten Leute, mich eingeschlossen, wissen nur, dass Galileo der erste war, der die Zykloide untersuchte und ihr einen Namen gab. Er fertigte sogar ein Modell der Zykloide mit einer Metallplatte an, um den Bereich unter der Zykloide zu untersuchen. Vielleicht wäre es einfacher gewesen, wenn es damals schon die Infinitesimalrechnung gegeben hätte. Übrigens war es Evangelista Torricelli, der Erfinder des Quecksilberbarometers, der schließlich das Problem der Fläche unter einer einzelnen Zykloide löste.

Im Laufe der Zeit haben Zykloiden eine große Zahl berühmter Mathematiker angezogen, darunter Descartes, Fermat, Pascal, Newton, Leibniz, L'Hôpital, Bernoulli, Euler, Lagrange und viele weitere Namen, die mir spontan einfallen.

Ihnen macht es offenbar Spaß, Wettbewerbe und Fragen rund um das Spinnrad zu inszenieren, die dann in gegenseitigen Angriffen und Beleidigungen enden.

Blaise Pascal hatte zuvor einen Wettbewerb zur Bestimmung des Schwerpunkts, der Fläche und des Volumens einer Zykloide ins Leben gerufen, bei dem es als Preisgeld spanische Goldmünzen gab. Leider entschieden die drei Richter, dass niemand gewonnen hatte. Christopher Wren (1632–1723), der Erbauer der St. Paul’s Cathedral in London, legte einen Beweis zur Berechnung der Länge der Zykloide vor, der zwar nicht Teil des Wettbewerbs war, aber dennoch Lob verdient. Ein Richter behauptete Jahre später, er habe das Problem gelöst, es jedoch nie schriftlich festgehalten, was einen öffentlichen Meinungskrieg auslöste. (Wenigstens hat Lane durch seine eigenen Veröffentlichungen die ihm gebührende Anerkennung verdient.)

Leider scheiterte auch die von Johann Bernoulli im Jahr 1696 vorgeschlagene Herausforderung, die ich Ihnen später vorstellen werde.

Mit Mathematik zu einem tieferen Verständnis von Zykloiden

Nachdem wir nun mit der Geschichte der Zykloide vertraut sind, haben Sie möglicherweise einige Geometriefragen, die denen der großen Gelehrten Galileo und Wren ähneln: Wie groß ist die Fläche unter der Zykloide? Wie lang ist die Zykloide? Welche Form hat die Zykloide?

Glücklicherweise verfügen wir über Mathematik und ein ausgebautes Netzwerk.

Die folgenden parametrischen Gleichungen können die x- und y-Koordinaten eines Punkts auf einem Kreis ausdrücken, während er sich im Laufe der Zeit (t) vorwärts bewegt. Die x- und y-Koordinaten stellen die Flugbahn der Zykloide dar. x und y sind unabhängig voneinander, daher gibt es zwei Gleichungen:

x(t) = r(t−sin(t))

y(t) = r(1−cos(t))

Um diese beiden Gleichungen besser zu verstehen, lassen wir t = π. Zu diesem Zeitpunkt ist x(π) = r ( π − sin(π) ) = r ( π − 0 ) = πr . Da der Umfang des Kreises 2πr beträgt, hat der Kreis zu diesem Zeitpunkt einen halben Kreis gerollt; die Höhe dieses Punktes beträgt y(π) = r ( 1 − cos(π) ) = r ( 1 + 1 ) = 2r , und der doppelte Radius zeigt, dass dieser Punkt auf dem Kreis den höchsten Punkt eines rollenden Kreises erreicht.

Mit diesen beiden Gleichungen können wir mithilfe der Infinitesimalrechnung die Länge und Fläche der Zykloide berechnen. Mithilfe des Internets und meiner Erinnerungen an frühere Mathematikkenntnisse habe ich mit verschiedenfarbigen Stiften diesen eleganten Beweis erbracht:

Wie bei allen Kreisproblemen ist die Lösung ziemlich einfach: Die Fläche unter einer einzelnen Zykloide beträgt 3πr². Erstaunlicherweise erreichte Galileo ein Verhältnis der Fläche unter der Zykloide (3πr²) zur Fläche des Kreises (πr²) von ziemlich genau 3:1, und das nur durch altmodisches Metallnähen. Die Länge der Zykloide beträgt 8r, was mit Ryans Berechnung vor langer Zeit übereinstimmt, und es gibt darin keine Spur von π.

Man kann sagen, dass dieses Ergebnis sehr schön ist.

Zykloiden in der Physik

Ist die Zykloide nur schön, aber nicht praktisch? Gibt es Zykloiden in der Natur? Obwohl sie nicht so häufig sind wie ihre geometrischen Verwandten, kommen Trochoiden in der Natur dennoch in einigen magischen Formen vor.

Kehren wir zu der Frage zurück, die Bernoulli 1696 führenden Mathematikern stellte:

„

Ich, Johann Bernoulli, an die klügsten Mathematiker der Welt:

Für intelligente Menschen gibt es nichts Attraktiveres als ein einfaches und herausforderndes Problem, ganz zu schweigen von der Möglichkeit, dass die Lösung sie berühmt und unsterblich macht. Ich hoffte, dass ich, den Beispielen von Pascal, Fermat und anderen folgend, auch die Dankbarkeit der akademischen Gemeinschaft gewinnen könnte, indem ich ein Problem aufstelle, das die Fähigkeiten und die geistige Leistungsfähigkeit der Spitzenmathematiker von heute auf die Probe stellt. Wenn mir jemand eine Lösung für mein nächstes Problem geben kann, werde ich ihn öffentlich loben.

Der Mann hatte keine Ahnung, dass er prahlte – auch wenn „öffentliches Lob“ nicht so verlockend klang wie spanische Goldmünzen. Dann sind da seine Fragen:

„

In einem vertikalen Raum befinden sich die Punkte A und B. Ein Teilchen wird nur durch die Schwerkraft beeinflusst und bewegt sich von A nach B. Auf welcher Kurve verläuft seine Flugbahn am schnellsten?

Mit anderen Worten: Wenn es einen kleinen Ball gibt, der nur vom Gravitationsfeld beeinflusst wird und sich auf einer reibungslosen Bahn (die Linie AB ist nicht vertikal) von einem höheren Punkt A zu einem niedrigeren Punkt B bewegt, welche Flugbahn kann den Ball dann in der kürzesten Zeit bewegen?

Bedenkt man jedoch, dass Bernoulli das richtige Ergebnis mit einer falschen Methode ermittelte und die richtige Herleitung von seinem Bruder kopierte, wird seine „Belohnung“ um einiges interessanter.

Bernoulli gab der Öffentlichkeit sechs Monate Zeit, eine Antwort einzureichen, erhielt jedoch keine Antwort. Leibniz schlug vor, die Einreichungsfrist auf eineinhalb Jahre zu verlängern, während der Newton die Herausforderung bewältigen konnte.

Newton zufolge erhielt er Johann Bernoullis Brief am 29. Januar 1967 um 16:00 Uhr auf dem Heimweg von der Royal Mint. Er arbeitete die ganze Nacht und schickte seine richtige Antwort am nächsten Tag anonym per E-Mail, aber weil die Antwort so gut und so „Newtonsch“ war, erkannte Bernoulli sofort „den Löwen, der diesen Pfotenabdruck hinterlassen hatte“.

Newtons Lösung, die er in einer Nacht schaffte, übertraf Bernoullis Rekord von zwei Wochen. Newton fügte seinem Brief etwas von der Verachtung hinzu, die Mathematiker der Zeit gerne zum Ausdruck brachten: „Ich mag es nicht, in die Mathematik verwickelt und von Ausländern amüsiert zu werden …“ Newton war nie besonders sympathisch und man könnte ihn als unfreundlich bezeichnen.

Newton, der unfreundlichste aller Zykloidenmathematiker.

(Quelle: https://whatculture.com/offbeat/10-times-well-loved-scientists-were-total-jerks?page=10)

Der schnellste von Newton und Bernoulli gelöste Weg wird als Brachistochrone Kurve bezeichnet, was vom griechischen Wort für „kürzeste Zeit“ stammt. Wie Sie aus dem Thema dieses Artikels erraten können, ist dieser Pfad ein Abschnitt der Zykloide. Die folgende Animation veranschaulicht dieses Problem anhand eines Experiments:

Die kürzeste Abstiegslinie in einem dynamischen Diagramm ist aufgrund der Schwerkraft immer der schnellste Abstiegspfad zwischen zwei Punkten auf unterschiedlichen Höhen. Die Brachistodenkurve ist die mittlere Linie in der oberen Abbildung und die rote Kurve in der unteren Abbildung.

Es ist auch sehr interessant, die Eigenschaften einiger Formen in der Natur zu erkennen.

Eine weitere Episode der Zykloide ist die Tautochrone-Kurve, die vom griechischen Wort „gleiche Zeit“ stammt. Sie können einen kleinen Ball an jede beliebige Stelle dieser Kurve legen und die Zeit, die er benötigt, um den tiefsten Punkt zu erreichen, ist dieselbe. Diese Grafik ist aus einer Halbzykloide abgeleitet. Die folgende Animation zeigt diese Kurve:

Isochrone Abfallkurve, eine weitere interessante Form der Zykloide. Egal, wo Sie den Ball auf der Kurve platzieren, er benötigt immer die gleiche Zeit, um den Boden zu erreichen.

Es gibt auch ein sogenanntes Zykloidenpendel, dessen Spitze sich am Schnittpunkt zweier Zykloidenlinien befindet. Die Linie dieses Pendels wird sich entlang zweier Zykloiden biegen, und die vom Pendel überstrichene Linie ist tatsächlich eine weitere Zykloide!

Ein Zykloidenpendel erzeugt zwischen zwei Zykloiden eine weitere Zykloide.

Auch mit dem kreisförmigen Rollrad können wir viele Veränderungen vornehmen. Im selben Kreis, der in einer geraden Linie vorwärts rollt, kann die Flugbahn innerhalb oder außerhalb des Kreises eine stärker gekrümmte oder flachere Kurve werden, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Verschiedene Zykloidenkurven.

(Quelle: https://www.researchgate.net/figure/Cycloidal-motion-and-examples-of-cycloids-Cycloid-blue-prolate-cycloid-red-curtate_fig12_304707433)

Als nächstes sehen wir die Familie der Zykloiden, die aus Kreisen oder anderen Figuren bestehen, die um bestimmte Figuren herum rollen.

Sie können eine Zykloide auch erstellen, indem Sie ein Objekt aus beliebiger Höhe fallen lassen. Die Fallbahn des Objekts verläuft relativ zur Erde vertikal, da die Erde jedoch ein rotierender Kreis ist, ist die Fallbahn eine leicht umgekehrte Zykloide (wenn auch nur sehr leicht)! ²

Zykloiden in der Literatur

Die Trochoiden, die in den letzten Jahrhunderten gelegentlich in der Literatur auftauchen, sind sicherlich bemerkenswert, und obwohl ich sie nicht alle auflisten kann, ist hier eine aus Herman Melvilles Klassiker von 1851, Moby Dick:

„

Als der Speckstein im Kessel auf der linken Seite der Pequod immer weiter kreiste, wurde mir plötzlich zum ersten Mal indirekt bewusst, dass alle Körper, die auf einer Zykloide gleiten – in meinem Fall der Speckstein – geometrisch dazu verpflichtet sind, dort zusammenzufallen, wo sie sich vorher befunden haben.

Zyklopen in der Architektur

Man sieht, dass Zykloiden wirklich interessant sind, und ich frage mich, ob es Zykloiden gibt, die uns in unserem täglichen Leben fehlen.

Das Gebäude besteht aus einer Vielzahl geometrischer Formen. Viele berühmte Bögen leiten sich vom Kreis (römischer Bogen), der Ellipse (halbelliptischer Bogen), der Parabel (parabolischer Bogen) und der Kettenlinie (Kettenbogen) ab. Es gibt unzählige Beispiele für beides, ich habe einige der bekanntesten herausgesucht:

Der Arc de Triomphe in Paris ist ein Halbkreisbogen, auch als römischer Bogen bekannt.

Die Kew Bridge, die die Themse in London überspannt, hat einen halbelliptischen Bogen, der eine größere Spannweite für Verkehr wie Schiffe und Züge schafft.

Die Bixby Bridge auf dem U.S. Highway 1 in Big Sur, Kalifornien, weist einen parabolischen Bogen auf. Foto: Alamy.

Der Gateway Arch in St. Louis, Missouri, ist ein Kettenbogen, der aufgrund seiner gleichmäßigen Gewichtsverteilung der stärkste Bogentyp ist.

Eine Trochoide sieht einem Bogen sehr ähnlich. Gibt es also Gebäude, die Trochoidenbögen verwenden? Den Online-Suchergebnissen zufolge gibt es welche, allerdings nur sehr wenige. Es gibt zwei Beispiele, die in der Einleitung immer wieder auftauchen:

Das erste ist das Dach des Kimbell Art Museum in Fort Worth, Texas, USA. Die mehreren Bögen auf diesem Dach bestehen aus einer Reihe von beabstandeten Rolllinien. Das von dieser Walze erzeugte Muster verleiht ihr ein glattes Aussehen, das sich sehr gut für ein Kunstmuseum eignet.

Trochanterbogen im Kimbell Art Museum in Fort Worth, Texas.

Das zweite Gebäude mit einem Zykloidenbogen ist der Bogen an der Vorderseite des Johns Hopkins Center am Dartmouth College, wo ich meinen Bachelor-Abschluss gemacht habe. Dies brachte mich auf eine andere Art zum Nachdenken: Liegt es daran, dass ich dieses Gebäude vier Jahre lang jeden Tag gesehen habe, dass mich die Zykloide so fasziniert hat?

Trochoidale Bögen an der Fassade des John Hopkins Center des Dartmouth College in Hanover, New Hampshire.

Posaunen in Kunst und Unterhaltung

Vielleicht haben Sie als Kind mit dem Trab „gespielt“. Das Blumenlineal ist ein Spielzeug, das auf einer gewöhnlichen Zykloide, einer sogenannten Hypozykloide, basiert. Im Gegensatz zu einem Kreis, der entlang einer geraden Linie rollt, ist eine Hypozykloide eine „spezielle ebene Kurve, die aus der Flugbahn eines bestimmten Punkts auf einem kleinen Kreis besteht, der an einen großen Kreis angeschlossen ist, der innerhalb eines großen Kreises rollt.“

Kaleidoskop.

(Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph)

Es gibt zwei spezielle Formen von Hypotrochoiden: Deltoid und Astroid, die man erhält, indem man einen bestimmten kleinen Kreis dreimal bzw. viermal innerhalb eines großen Kreises rollt. Möglicherweise haben Sie auf einigen Logos sternförmige Linien gesehen.

Zwei spezielle Hypotrochoiden: die trigonometrische Hypotrochoide (links) und die sternförmige Hypotrochoide (rechts).

Das Logo der Footballmannschaft Pittsburgh Steelers hat drei Sterne.

Wenn Sie diese Art der Strichzeichnung beruhigend finden, können Sie sich an einigen Künstlern erfreuen, die mehrere Kreise unterschiedlicher Größe kombinieren, um Zykloidenkunst zu schaffen:

Strichzeichnungsinstallation mit rotierendem Rad auf Pinterest.

Cyclone-Kunstwerk auf Kickstarter verkauft.

Trochoiden in der Optik

Eine andere Zykloidenform kann durch die Bahn eines Kreispunktes gebildet werden, der entlang der Außenseite eines Kreises rollt. Ein spezielles Beispiel ist die Kardioide, eine Figur, die durch die Flugbahn eines Punktes auf einem Kreis gebildet wird, der sich außerhalb eines anderen Kreises mit gleichem Radius bewegt, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Diese Form hat zufällig eine scharfe Ecke, die einem Herzen ähnelt, was auch der Ursprung ihres Namens ist:

Die Kardioidlinie ist eine andere Art der Trochoidlinie.

Kardioide kommen in der Natur sehr häufig vor und sind besonders häufig in Kaustiken zu finden, die durch zwei kreisförmige Oberflächen erzeugt werden. In der Optik wird Kaustik als eine Kurve oder Oberfläche definiert, die „die Lichthülle ist, die durch die Unebenheit oder Reflexion der Oberfläche eines Objekts oder die Projektion der Lichthülle auf andere Oberflächen erzeugt wird“. Auf dieser Linie oder Oberfläche verläuft jeder Lichtstrahl tangential dazu, und der Ort, an dem diese Lichtstrahlen konzentriert sind, ist die Grenze der Lichthülle.

Wir können die Herzlinie in den Ätzungen sehen, die von mehreren runden Objekten erzeugt werden, von einer Kaffeetasse bis zu einer Uhr.

Wenn Sie das nächste Mal Ihren Morgentee trinken, öffnen Sie unbedingt die Augen und schauen Sie sich das Muster in Ihrer Teetasse an! ☕️

Die Grenze des zentralen Bereichs der Mandelbrot-Menge, einem Rahmen für fraktale Geometrie und Chaostheorie, ist ebenfalls eine exakte Niere, obwohl ich die genauen Gründe dafür nicht kenne, aber es handelt sich dennoch um eine andere Form der Niere.

Der zentrale Bereich der ersten Stufe der Mandelbrot-Menge wird durch eine perfekte Herzlinie begrenzt.

Die Form der Zykloide ist nicht auf Kreise beschränkt. Sie können auch eine nicht kreisförmige Form entlang einer geraden Linie rollen und eine neue Form entdecken – ein polygonales Zyklogon. Hier sind die Zyklogone von Dreiecken und Quadraten:

Der Rotationsbogen, der durch ein gleichseitiges Dreieck gebildet wird, das entlang einer geraden Linie rollt, ohne zu gleiten.

(Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon)

Der Bogen eines Quadrats rollt entlang einer geraden Linie, ohne zu rutschen.

(Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon)

Zykloiden im Universum

Die Trochoiden sind nicht nur Figuren im alltäglichen Maßstab wie Räder, Uhren, Tassen oder Spirographen, sie können sogar planetarische Maßstäbe erreichen. Während der Jupitermond Europa (kleiner Kreis) den Riesenjupiter (großer Kreis) umkreist, bildet die Gravitationskraft (eine gerade Linie) Zykloiden auf dem Satelliten, die auf dem Europa-Satellitenbild als Risse im Eis zu sehen sind. Dieser Riss ist darauf zurückzuführen, dass die Umlaufbahn des Satelliten dem Gravitationsdruck ausgesetzt ist.

Zykloiden auf der Oberfläche des Jupitermondes Europa.

(Quelle: https://www.science.org/doi/10.1126/science.1248879)

Zykloidenbildung auf der Oberfläche Europas.

(Quelle: https://www.researchgate.net/figure/Model-of-cycloidal-crack-formation-on-Europa-by-Hoppa-et-al-The-arrows-represent-the_fig6_13779479)

Zusammenfassen

Ich hoffe, Sie haben aus diesem Artikel auch einige neue Grafiken gelernt. Schließlich sind Zykloiden eine sehr interessante Grafikgruppe. Nachdem ich eine Reihe von Zykloiden gesehen habe, möchte ich mehr über das Universum um mich herum erfahren …

Quellen:

¹ Eli, Maor und Eugen Jost. „Verdrehte Mathematik und schöne Geometrie.“ Amerikanischer Wissenschaftler.

² Lynch, Peter. „Die gekrümmte Geschichte der Zykloiden, von Galileo bis zu Fahrradgetrieben.“ Die Irish Times. 17. September 2015.

Von Ry Sullivan

Übersetzung: zhenni

Rezensent: Nichts

Originallink:

https://medium.com/@rysullivan/celebrating-the-cycloid-be4350ff187b

Der übersetzte Inhalt stellt lediglich die Ansichten des Autors dar

Dieser Artikel spiegelt nicht die Ansichten des Instituts für Physik der Chinesischen Akademie der Wissenschaften wider.

Herausgeber: zhenni