Sie haben vielleicht alle Formeln vergessen, aber sie wissen, wie man Mathematik am besten lernt.

Wie lernt man Mathematik? In dieser Hinsicht hat Ding Jiu, Professor am Institut für Mathematik der University of Southern Mississippi, eine einzigartige Sichtweise. Er unterrichtet seit mehr als 33 Jahren und wenn er sich an seine Zeit als Dozent im Fachbereich Mathematik der Michigan State University erinnert, sind seine Gefühle und Einsichten tiefgreifend. Während der viereinhalbjährigen Studienzeit hatten die Dozenten der von ihm besuchten und als Gasthörer betreuten Kurse jeweils ihre eigenen Lehrcharakteristika und persönlichen Stile. Das umfangreiche Lehrangebot und die zahlreichen Diskussionsrunden wurden für ihn zu einer unerschöpflichen Wissensquelle.

Seiner Ansicht nach legt das chinesische Bildungssystem zu viel Wert auf Mnemotechnik, wodurch die Gedächtnisleistung des Gehirns der Schüler aufs Äußerste beansprucht wird, die wichtigste Funktion des Gehirns jedoch vernachlässigt wird: das Denken. Nicht denken zu können oder nicht denken zu wollen, ist eine der Folgen der jahrtausendealten chinesischen Erziehung durch Auswendiglernen.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Der Neujahrstag 1986 ist für mich ein ganz denkwürdiges Ereignis. Am Mittag dieses Tages flog ich von Shanghai in die USA, um dort zu promovieren. Ich bin in San Francisco durch den Zoll gegangen und habe dort übernachtet. Am nächsten Morgen flog ich früh zur Michigan State University. An diesem Tag verbrachte ich also jeweils den „halben Neujahrstag“ in China und in den Vereinigten Staaten.

Im Sommer 1990 erhielt ich meinen Doktortitel. in angewandter Mathematik bei Professor Li Tianyan (1945–2020) und wurde sofort als Dozent in der Fakultät für Mathematik der University of Southern Mississippi eingestellt, wo ich seit 33,5 Jahren unterrichte. Wenn ich mich an die kleinen Dinge erinnere, die ich damals gelernt habe, habe ich tiefe Gefühle und Erfahrungen.

Ein Schandfleck in der Untersuchungsgeschichte

Professor Jacob Plotkin (1941-), der Direktor für Graduiertenangelegenheiten in der Fakultät für Mathematik, an der ich studierte, war sich der Stärken und Schwächen der chinesischen Doktoranden seiner Zeit durchaus bewusst. An meinem ersten Tag der Einschreibung riet er mir: Mach dir keine Sorgen um Mathe, konzentriere dich zuerst auf Englisch. Obwohl ich seinem Rat folgte und zwei Kurse in Englischhören und -schreiben belegte, nahm ich zusätzlich zu meiner offiziellen Einschreibung in einen Mathematikkurs bei Professor David H. Yen (1934-2011) auch als Gasthörer an mehreren Aufbaustudiengängen teil. Zwei davon sind Lehrveranstaltungen zur Promotionsreifeprüfung, einer der beiden Hauptprüfungen für Doktoranden. Ziel ist es, zwei Fliegen mit einer Klappe zu schlagen: zum einen die Verbesserung des Hörverständnisses in Englisch zu fördern und zum anderen die Mathematikinhalte der Abschlussprüfung zu wiederholen und zu festigen. Professor Yan ist der mir vom Fachbereich zugeteilte akademische Berater. Wenn ich Hilfe bei der Kursbelegung brauche, kann ich ihn um Rat fragen.

Die beiden einjährigen Kurse, auf denen die Doktorprüfung basiert, behandeln Inhalte – Analysis und Algebra –, die ich im Wesentlichen während meines Studiums an der Fakultät für Mathematik der Universität Nanjing gelernt habe, aber ich habe sie seit vielen Jahren nicht mehr wiederholt und muss sie daher wiederholen. Als ich am Abend des 2. Januar in der Schule ankam, teilte mir Shen Yunqiu, ein Doktorand, der mir immer eine große Hilfe war, mit, dass die Abteilung an diesem Tag bereits die erste Halbjahresabschlussprüfung abgelegt habe und am nächsten Tag mit der zweiten Prüfung fortfahren würde. Er schlug vor, dass ich es versuchen sollte. Denn ein Nichtbestehen der Abschlussprüfung direkt nach der Einschulung gilt laut Reglement nicht als Nichtbestehen. Also ging ich am nächsten Morgen wie benommen los, um mein Glück zu versuchen, stieß jedoch auf schwierige Probleme, da in meinem Gedächtnis aufgrund jahrelanger Vernachlässigung viele Formeln fehlten, und deshalb fiel ich durch den Test. Obwohl dieser dreiste und überhastete Test bei meinem zukünftigen Doktorvater, Professor Li Tianyan, keinen schlechten Eindruck hinterließ (er sagte jedoch oft, dass der Eignungstest nur dazu diente, „amerikanische Idioten zu testen“), schämte ich mich wirklich, weil er einen unauslöschlichen Fleck in meiner Testhistorie hinterließ. Ich habe gehört, dass vor Beginn des Herbstsemesters zwei junge Masterstudenten der Sichuan-Universität hierhergekommen sind, um ihre Promotion zu machen. Sie forderten die Abschlussprüfungsunterlagen der vergangenen Jahre bei der Fakultät an, sichteten diese, bereiteten sich zehn Tage lang vor und legten Anfang September die beiden Prüfungen ab. Vier Monate später, als das Wintersemester begann, bestanden sie zwei noch schwierigere „Promotionsvorbereitungsprüfungen“. Bei so einer Geschwindigkeit fühle ich mich minderwertig. Ich habe den akademischen Geist und die Lebensweise dieser beiden mathematischen Genies aus Chengdu – Lü Kening und Zheng Dechao – immer respektiert. In den letzten Jahrzehnten haben sie sich zu führenden Persönlichkeiten in ihren jeweiligen Forschungsbereichen entwickelt.

Ich vertraue jedoch auf meine eigenen Fähigkeiten. Als ich auf meine erste Zulassung zur Universität Nanjing zurückblickte, sah ich meine Kommilitonen, die einen Monat zuvor dort eingeschrieben waren. Sie alle schienen „Workaholics“ und „Meister der Kampfkünste“ zu sein. Viele Menschen lernen im Voraus, als wüssten sie alles. Ich hatte solche Angst, dass ich innerhalb einer Woche viel Gewicht verlor, und auch mein Bruder, der auf einer Geschäftsreise nach Nanjing kam und mich besuchte, war schockiert. Doch ich stellte bald fest, dass ich in meinem Studium unbesiegbar sein würde, wenn ich die wichtigsten mathematischen Konzepte wirklich verstünde und Schritt für Schritt vorgehen würde. Die Fähigkeit zum Selbststudium, die ich im Laufe der Jahre allmählich entwickelt hatte, kam mir diesmal zugute und schon bald fiel ich unter meinen Klassenkameraden im gleichen Jahrgang auf. Ich erinnere mich noch genau daran, was uns Lehrer Wang Yongcheng (1939-), der uns im ersten Semester „Analytische Geometrie im Raum“ beibrachte, sagte: „Ich hatte fast alle Formeln vergessen, als ich das College abschloss, aber ich habe gelernt, wie man Mathematik studiert.“ Tatsächlich ist die Beherrschung von Lernmethoden viel wichtiger als das Erinnern an das Gelernte. Dies entspricht der Wahrheit der Redewendung: „Es ist besser, jemandem das Angeln beizubringen, als ihm Fische zu geben.“ Später lehrte Herr Wang an der Shanghai Jiaotong University und wurde Computerexperte mit beachtlichen Erfolgen im chinesischen Schriftsatz. Dies könnte damit zu tun haben, dass er gelernt hat, „wie man Mathematik lernt“. Seine frühen Studienerfahrungen, bei denen er „die Lichtformel vergaß“, bestätigten den berühmten Ausspruch des japanischen Fields-Medaillengewinners Hironaka Heisuke (1931-): „Der Zweck des Lernens besteht darin, Weisheit zu erlangen.“

Ich vertiefte mich wieder in mein Studium, genau wie damals, als ich zum ersten Mal an die Universität Nanjing kam. Allerdings macht mir der Jetlag schon seit mehreren Monaten zu schaffen – ich bin tagsüber müde, sobald ich den Klassenraum betrete, aber mitten in der Nacht bin ich voller Energie. Nach einem Vierteljahr bestand ich die Englischprüfung in Michigan und musste keine Hör- und Schreibkurse mehr besuchen. Meine „bedingte Zulassung“ aufgrund meines niedrigen TOEFL-Hörverständnis-Scores vor der Zulassung wurde zu einer „regulären Zulassung“ im wahrsten Sinne des Wortes aufgewertet. Seit dem Frühjahrssemester konzentriere ich meine Hauptenergie auf die Mathematik. Ich habe mich nicht nur für gebührenpflichtige Aufbaustudiengänge eingeschrieben, sondern auch als Gasthörer an anderen Mathematikkursen teilgenommen. Einige davon hatten nicht direkt mit der Forschungsrichtung zu tun, die ich mir damals vorstellte. Ich wollte aber lieber verschiedene Bereiche ansprechen und versuchen, mein Wissen zu erweitern. Genau wie an der Nanyang Technological University bestand ich darauf, geisteswissenschaftliche Bücher und Zeitschriften zu lesen, egal, wie beschäftigt ich mit meinem Studium war. Hier habe ich die Nahrung der reinen Mathematik wie ein Schwamm aufgesogen. Um die Promotionsreifeprüfung möglichst schnell zu bestehen, habe ich diese beiden Grundlagenkurse weiterhin als Gasthörer besucht. Unter ihnen war Professor Peter A. Lappen, der das Auftreten eines europäischen Gentlemans hatte und es mit Ernsthaftigkeit bei der Lehre der reellen Analysis meinte. Er ging sofort zur Tafel, als er das Klassenzimmer betrat, und schrieb in extravaganter Art und Weise. Er war wahrscheinlich der schnellste Schriftsteller, den ich je in meinem Leben gesehen habe. Anfang September desselben Jahres legte ich die Promotionsreifeprüfung erfolgreich ab. Im Januar des darauffolgenden Jahres absolvierte ich zwei Promotionsvorprüfungen. Meinem Tagebuch zufolge habe ich bei mindestens einem davon den ersten Platz belegt.

Je mehr, desto besser

Das umfangreiche Lehrangebot und die zahlreichen Seminare im Fachbereich Mathematik der Michigan State University sind für mich zu einer unerschöpflichen Wissensquelle geworden. Die Abteilung verfügt außerdem über eine Bibliothek mit einer umfangreichen Büchersammlung und eleganter Dekoration. Am ersten Tag meiner Immatrikulation erhielt ich von der Sekretärin des Direktors für Graduiertenangelegenheiten den Schlüssel zur Fachbereichsbibliothek, ausgenommen das Büro des Lehrassistenten und das Gebäude. Ich war fast schockiert. Ich habe den ausländischen Doktoranden, die gerade angekommen waren, tatsächlich so viel zugetraut. Hatten sie keine Angst, dass ihre Bücher gestohlen würden? Ich erinnere mich, dass die Bibliothek meiner Alma Mater, der Universität Nanjing, einst an die Studenten glaubte und zu ihrer Bequemlichkeit die Freihandausleihe von Büchern einführte. Dies hatte zur Folge, dass viele Bücher nach wenigen Monaten verschwanden, weil einige Leser fest an das berühmte Sprichwort glaubten, das Lu Xun für den Protagonisten des Romans Kong Yiji geprägt hatte: „Bücher zu stehlen gilt nicht als Diebstahl.“ Von einer „Unterschlagung“ in der Fachbereichsbibliothek habe ich in den Jahren meines Studiums hier jedoch nie etwas gehört. Alle haben die Annehmlichkeiten der Bibliothek sehr genossen, insbesondere in der ruhigen Nacht, wenn man auf dem bequemen Einzelsofa saß und in den Ozean des mathematischen Denkens eintauchte, was sich wirklich wunderbar anfühlte.

Während meiner viereinhalbjährigen Studienzeit hatten die Dozenten der Kurse, die ich besuchte und als Gasthörer besuchte, jeweils ihre eigenen Lehrcharakteristika und persönlichen Stile. Professor Yan Xianyao, der Lehrer meines ersten Mathematikkurses, stammte ursprünglich aus Shandong und war ein direkter Nachfahre von Yan Hui, einem der erfolgreichsten Schüler von Konfuzius. Er erhielt seinen Doktortitel vom Courant Institute of Mathematical Sciences der New York University. Nach seiner Flucht aus Nazi-Deutschland gründete Richard Courant (1888–1972), ein Student und Kollege des großen Mathematikers David Hilbert (1862–1943), dieses Institut im einst glorreichen mathematischen Stil seiner Heimatuniversität Göttingen. In den USA ist der Bereich der angewandten Mathematik führend. Professor Yan ist elf Jahre älter als Professor Li und sie sind enge Kollegen. Professor Li schlug mir vor, diesen Kurs zu belegen, obwohl ich die grundlegenden Inhalte dieses Kurses, „Numerische Lösungen partieller Differentialgleichungen“, bereits in meinem dritten Studienjahr gelernt hatte. Professor Yan ist Experte für Mechanik und Differentialgleichungen. Sein Unterrichtsstil ist genau wie seine Persönlichkeit: beständig, solide und logisch streng. Sein Tonfall ist ruhig und gleichmäßig und seine Tafelschrift ist klein und elegant, was einen interessanten Kontrast zu seiner großen Statur bildet. Von ihm habe ich die Strenge der Wissenschaft und die innere Ruhe im Leben gelernt.

Auch in den Vorlesungen anderer Professoren konnte ich wertvolles Wissen erwerben, den Charakter ihrer Vorlesungen miterleben und mich von ihrer einzigartigen Lehrkunst beeinflussen lassen. Im Studienjahr 1988/89 habe ich mich für den Kurs „Fortgeschrittene Funktionalanalyse“ von Professor Sheldon Axler (1949-) eingeschrieben. Professor Aksla hat einen typisch amerikanischen Stil, eine fröhliche Persönlichkeit und eine Liebe zur Freiheit. Er schloss sein Studium an der Princeton University mit einem Bachelor ab. Er ist der Enkel von Paul Halmos (1916–2006), einem in der amerikanischen Mathematikergemeinschaft weithin anerkannten ungarischen Mathematiker und Meister des mathematischen Schreibens und Präsentierens. Sein Doktorvater war Professor Donald E. Sarason von der University of California, Berkeley. Wie sein Meister ist auch er ein guter Lehrer, bei dem sich klare Erklärungen, flüssige Tafelschrift und schönes Englisch ergänzen. Ich interessiere mich seit meinem Grundstudium für Funktionalanalysis und hätte beinahe vor meinem Abschluss die postgraduale Aufnahmeprüfung in diesem Fach abgelegt. Also beschloss ich, „auf die nächste Stufe zu gehen“, indem ich den Kurs von Professor Aksla besuchte. Die Konzepte der Funktionalanalyse sind für Computermathematiker das, was die höhere Analysis für Ingenieure ist. Für diesen Kurs gibt es kein Lehrbuch, nur zwei dafür vorgesehene Nachschlagewerke – „Functional Analysis“ von Walters Rudin (1921–2010) und „A Course in Functional Analysis“ von John B. Conway (1939–). Drei Semester in Folge gab es keine einzige Prüfung und die Semesternote errechnete sich aus der Gesamtpunktzahl der aufgegebenen Hausaufgaben. Erstaunlich ist die Bewertungsmethode des Professors: Bei richtiger Bearbeitung der Aufgaben gibt es 10 Punkte, bei falscher Bearbeitung 0 Punkte und bei falscher Bearbeitung minus 5 Punkte. Dies macht die Kursteilnehmer nervös und sie haben Angst, Fehler zu machen. Da es keine Prüfung gibt, können Sie sich vorstellen, dass einige der Übungen ziemlich schwierig sind. Die meisten Studierenden des Kurses sind Doktoranden der reinen Mathematik, die sich später mit der Forschung in den Bereichen Analysis, Gleichungen, Geometrie oder Topologie beschäftigen werden. Mindestens zwei von ihnen sind eigene Studenten des Professors. Sie haben aber auch Angst vor Minuspunkten und diskutieren oft miteinander, ohne es zu wagen, vorschnell zu handeln oder die Fragen voreilig abzugeben. In der Klasse war ein Student, der gerade mit Hilfe eines Auslandsstudienfonds sein Studium an einer renommierten Universität in China abgeschlossen hatte. Er hatte geplant, bei einem berühmten Professor der Fakultät zu promovieren, doch einige Jahre später ging er zu einem noch berühmteren Professor an einer noch berühmteren Universität an der Ostküste, um seinen Abschluss zu machen. Später wurde er Professor an einer Forschungsuniversität und diente auch als angesehener Professor an seiner Alma Mater. Schließlich hatte er damals nur einen Bachelor-Abschluss und war bei diesem schwierigen Studiengang nicht sehr zuversichtlich, sodass er von Zeit zu Zeit zu mir kam, um mir Fragen zu stellen. Bei der Hausaufgabenausgabe bekam er einmal für eine bestimmte Frage 10 Punkte, mir wurden jedoch 5 Punkte abgezogen, da meine Lösung zu knapp war und somit als falsch galt. Allerdings hat er diese Frage erst nach Rücksprache mit mir gestellt, dafür aber ausführlicher formuliert. Natürlich habe ich Professor Aksla nach dem Unterricht meine richtige Antwort erklärt. Nach reiflicher Überlegung stimmte der Professor einer Erhöhung der Note von -5 auf +10 zu, allerdings wollte er in Zukunft keine „Schlamperei“ mehr bei meinen Hausaufgaben sehen. Von da an erinnerte ich mich an das englische Substantiv „Sloppiness“, das er verwendet hatte und das ich zum ersten Mal sah. Professor Aksla war ein so großartiger Dozent, dass ich und andere ihn für den Lehrpreis der Abteilung nominiert haben, den er mehr als verdient hat. Als ich mich später um eine Lehrstelle an einer Universität bewarb, schrieb er mir voller Begeisterung ein Empfehlungsschreiben, in dem er meine „Leistung“ in seinem einzigartigen einjährigen Kurs lobte.

Der Professor, der mich jedoch wirklich beeindruckte und den größten Einfluss auf meine spätere Forschungs- und Lehrkarriere hatte, war Herr Li Tianyan, zu dem ich kam. Als er Anfang Juni 1985 zum ersten Mal das Festland besuchte, flog ich, der ihn durch Briefwechsel kannte, zur Sun Yat-sen-Universität, um seinen einwöchigen Vorlesungen beizuwohnen. Ich wurde Zeuge seiner Tanzvorführung im Klassenzimmer und hörte auch zum ersten Mal die berühmte Abhandlung „Periode Three Implies Chaos“, die er gemeinsam mit seinem Doktorvater James Yorke (1941-) verfasste. Er übersetzte den Titel geschickt mit „Periode Drei impliziert Chaos“. Ich habe in dieser Woche aus seinen Vorlesungen wahrscheinlich mehr mathematische Ideen gelernt als während meines gesamten Masterstudiums. Für diejenigen, die Schritt für Schritt lernen, mag dieses Gefühl übertrieben erscheinen. Wenn Sie nur lesen, was Professor Freeman Dyson (1923–2020) vom Institute for Advanced Study in Princeton geschrieben hat, wissen Sie, wie stark dieses Gefühl ist. Dyson, der im Alter von 30 Jahren von Dekan Oppenheimer (J. Robert Oppenheimer, 1904-1967) als ordentlicher Professor angeworben wurde, erinnerte sich, dass er, als er mit dem großen Physiker Enrico Fermi (1901-1954) an der Universität von Chicago über eine physikalische Berechnung diskutierte, die er für durchführbar hielt, die zwanzigminütigen Kommentare seines Gegenübers ihn zu der festen Überzeugung brachten, dass „Ein Wort von dir zuzuhören ist besser, als zehn Jahre lang zu lesen.“

Als ich meinen Master bei Professor He Xuchu (1921-1990) im Fachbereich Mathematik der Universität Nanjing machte, bat mich mein Betreuer, bereits im ersten Semester Diskussionsgruppen abzuhalten. Er war auch persönlich anwesend und gab von Zeit zu Zeit inspirierende Einblicke. Er hat uns nicht nur dabei unterstützt, möglichst schnell im Forschungsbereich voranzukommen, sondern hat auch die Gewohnheit des unabhängigen Denkens gefördert und unsere mathematischen Präsentationsfähigkeiten verbessert. Ich erinnere mich, dass ich, bevor ich über den Abschnitt zur Dualitätstheorie der linearen Programmierung im Lehrbuch „Introduction to Linear and Nonlinear Programming“ von Professor David G. Luenberger (1937-) von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften und Wirtschaftssysteme der Stanford University berichtete, das auf der Grundidee „Mathematik ist ein organisches Ganzes“ basiert, das Konzept der Dualität in der Funktionalanalyse als Einführung verwendete und Analogien nutzte, um die Dualitätsidee in die lineare Programmierung zu implementieren. Dieser erste Bericht in meinem Leben erhielt von allen Seiten positive Kritiken und auch Herr He, der sonst so ernst war, lächelte. Während meines Grundstudiums an der Universität Nanjing habe ich mir ein relativ solides analytisches Fundament angeeignet und hatte das Glück, während meines Masterstudiums an einer Schulung in Diskussionsgruppen teilzunehmen. Darüber hinaus bat uns Professor Zuhe Shen, der uns im ersten Jahr der Graduiertenschule den grundlegenden Berufskurs „Iterative Lösungen nichtlinearer Gleichungen“ unterrichtete, Studenten, nach einem Semester Unterricht über die zweite Hälfte des englischen Lehrbuchs zu referieren, was unsere Fähigkeit zum selbstständigen Lernen und zum Halten von Vorlesungen weiter stärkte. Nach meiner Ankunft in den Vereinigten Staaten wurde ich voller Selbstvertrauen Mitglied der Diskussionsklasse von Professor Li.

Mentor Li Tianyans „wissenschaftlicher Ansatz“

Professor Li Tianyan ist eine legendäre Figur mit einer einzigartigen Persönlichkeit. Im darauf folgenden Jahr, nachdem er leider im Alter von 75 Jahren aufgrund einer Krankheit verstorben war, veröffentlichte ich beim Shanghai Science and Technology Education Press meine Memoiren „Out of Chaos: My Romance with Li Tianyan in Mathematics“, in denen ich in einem Kapitel von seiner „Herangehensweise an die Wissenschaft“ sprach. An Seminarberichte stellte er extrem hohe Ansprüche. Er wollte weder ausschließlich logische Argumente zum Beweisen von Theoremen noch „unverständliche ε-δ-Sprache“ hören. Er wollte die Grundgedanken hinter den Bedingungen und Schlussfolgerungen hören. Wenn Sie nur auswendig zeigen möchten, dass eine bestimmte Aussage für alle natürlichen Zahlen n gilt, dann liegen Sie falsch. Er möchte Ihre konkrete Schlussfolgerung sehen, wenn n gleich 3 ist. Sie können die Schritte der Argumentation, die für jedes n gelten, vielleicht auswendig aufsagen, aber mit dem einfacheren Sonderfall von n = 3 kommen Sie nicht zurecht, weil Sie den Satz nicht wirklich verstehen und lediglich den Beweis wiedergeben. Es gibt tatsächlich viele solcher Studenten. Professor Li erzählte uns, dass eine Doktorandin während ihrer mündlichen Doktorprüfung darum gebeten hatte, die Frage „Beweis, dass das Produkt zweier kompakter Mengen eine kompakte Menge ist“ in „Beweis, dass das Produkt beliebiger kompakter Mengen eine kompakte Menge ist“ zu ändern, weil sie den Beweis des letztgenannten berühmten Satzes von Tichonow bereits auswendig konnte.

Schon vor dem Seminar, also nur drei Wochen nach meinem Eintritt in die Schule, erlebte ich die strengen Anforderungen von Professor Li an akademische Berichte. An diesem Tag gab er mir einen dicken Artikel und sagte: „Ich weiß noch nicht, auf welchem ​​Niveau Sie sind. Berichten Sie mir in drei Wochen über den Inhalt.“ Er legte mit mir eine inoffizielle „Doktorprüfung“ ab! Der Doktorvater des Autors war der berühmte Stephen Smale (1930-). Nach seinem Abschluss wurde er ein junger Professor an der Cornell University und hatte sich in der akademischen Welt bereits einen Namen gemacht. In diesem langen Artikel mit mehr als siebzig Seiten wird die Rechenkomplexität von Algorithmen wie der linearen Programmierung mithilfe der Integralgeometrie untersucht, aber ich bin auf diesem Gebiet ein Laie. Doch obwohl ich jeden Tag mit dem Besuch von Kursen und Vorlesungen beschäftigt bin und außerdem mit dem Jetlag zu kämpfen habe, kann ich angesichts der Schwierigkeiten nicht aufgeben. Stattdessen sollte ich praktische Maßnahmen ergreifen und den Erwartungen des Lehrers gerecht werden! Ich habe das klassische Werk zur Integralgeometrie des spanischen Mathematikers Luis A. Santaló (1911-2001) aus der Bereichsbibliothek ausgeliehen. Meine Fähigkeit zum Selbstlernen hat sich im Laufe der Jahre kontinuierlich verbessert, sodass ich die grundlegenden Konzepte dieses Fachs schnell verstand. Außerdem war ich fasziniert von der Schönheit des Studiums der Geometrie aus einer probabilistischen Perspektive. Wer hört, dass man den Wert von Pi mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit schätzen kann, indem man eine Nadel viele Male zufällig auf eine Ebene mit zwei geraden Linien wirft, wird über die geniale Schöpfung des damals siebzigjährigen Georges de Buffon (1707–1788) staunen, eines französischen Botanikers und Schriftstellers und einer der Pioniere der Integralgeometrie.

Als ich in Professor Lis Büro vor der Tafel stand und meine Fähigkeiten unter Beweis stellen wollte, sah ich ihn auf einem Stuhl sitzen und die Füße auf dem Schreibtisch abstützen (das zeugte nicht von Arroganz, war aber in den USA ein weit verbreitetes Phänomen). Plötzlich sagte er etwas, das mich überraschte: „Sie halten mich für einen Idioten. Ich weiß nichts.“ Ein großartiger Professor weiß nichts? Im Nu verstand ich alles. Er testete meine Lehrfähigkeiten und die Wirksamkeit meiner Reden und ob ich „Narren“ wirklich „höhere Mathematik“ verständlich machen konnte. Ich kenne meine Stärken und Schwächen. Meine Schwäche besteht darin, dass meine Mandarin-Aussprache schlecht ist und mein Heimatstadt-Akzent ziemlich stark ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass ich bereits im Alter von 14 Jahren begann, meinen Lebensunterhalt zu verdienen, und mehrere Jahre lang mit Arbeitern zusammengearbeitet habe, die nur den Dialekt meiner Heimatstadt sprachen, bevor ich zur Universität ging. Aber ich hoffe, dass wir „von den Stärken des anderen lernen und die Schwächen des anderen ausgleichen“. Dieser kleine Vorteil besteht darin, dass ich, sofern ich etwas wirklich verstanden habe, es grundsätzlich auf eine Weise erklären kann, die normale Menschen verstehen. Die chinesische Redewendung „Teigtaschen in einer Teekanne – da ist etwas im Magen, aber man kann es nicht aus dem Mund schütten“ trifft auf mich wohl kaum zu. Dies liegt zum Teil an den angeborenen Lehrgenen der Eltern und zum Teil an der erworbenen Lehrausbildung an der Nanyang Technological University.

Nach dem ersten Bericht sagte Professor Li nichts. Er lobt die Leute selten persönlich, aber ich weiß das sehr gut und habe es diesem „Idioten“ klargemacht. In der zweiten Woche fühlte ich mich selbstbewusster. Nachdem ich fertig gesprochen hatte, sagte er: „Gehen Sie zurück und schreiben Sie einen Bericht für mich.“ Ich atmete erleichtert auf, da ich seinen einzigartigen „Qualifikationstest“ endlich bestanden hatte.

Später erfuhr ich, dass der Artikel bei der Zeitschrift Mathematical Programming eingereicht und von der Redaktion zur Überprüfung an Professor Li weitergeleitet wurde. Er hatte diese clevere Idee, mit der ich zwei Fliegen mit einer Klappe schlug: Sie testete nicht nur meine Mathematikkenntnisse und Präsentationsfähigkeiten, sondern gab mir auch die Möglichkeit, das Schreiben von Gutachten zu üben. Natürlich spart er sich auch die Zeit, die mit der Überprüfung von Manuskripten verbunden ist, also warum sollte er es nicht tun? Dies ist die erste Rezension in meiner akademischen Laufbahn. Obwohl es inoffiziell ist, weil ich noch Doktorand bin, bedeutet es mir sehr viel.

Im Sommer 1986 hielt Professor Li ein Seminar ab, um das neue Buch „Einführung in die angewandte Mathematik“ des MIT-Professors Gilbert Strang (1934-) zu besprechen. Obwohl ich in diesem Sommer vom Fachbereich keine finanzielle Unterstützung erhielt, weil ich die Vorbereitungsprüfung für die Promotion nicht bestanden hatte (ich hatte nicht einmal die Zulassungsprüfung bestanden), wollte ich nicht außerhalb des Campus arbeiten, da mein Gehalt als Lehrassistent in den letzten sechs Monaten ausreichte, um meine Ausgaben für die nächsten drei Monate zu decken. Daher nahm ich das Angebot natürlich an. Zwei Doktoranden von Professor Li, Noah Rhee aus Südkorea und Zhang Hong aus Peking, sowie ein Schüler von Professor Yan nahmen ebenfalls teil. Jeder Student muss über ein Kapitel berichten. Da mein Master-Schwerpunkt die Optimierungstheorie ist, wurde ich gebeten, über das Kapitel zur mathematischen Programmierung zu berichten.

Dies war mein erster Seminarvortrag in den Vereinigten Staaten. Trotz der Ausbildung, die ich im Seminar der Nanyang Technological University erhalten hatte, bereitete ich mich darauf vor, als wäre es meine erste akademische Präsentation in meinem Leben. Dies ist tatsächlich mein erster englischer Seminarbericht. Ich habe dieses Kapitel in Professor Strongs Buch sorgfältig gelesen, meine Erkenntnisse der letzten Jahre zu diesem Thema geordnet und beschlossen, die Grundideen der Optimierungstheorie in meiner eigenen Sprache geometrisch einzuführen. Bevor ich auf die Bühne ging, um selbstbewusst meinen Vortrag zu halten, begrüßte mich Professor Li und entschuldigte sich, dass er aus irgendeinem Grund zehn Minuten früher gehen müsse. An diesem Tag habe ich nicht die von den Autoren verwendete Standardmethode zum Beweis der Lagrange-Multiplikatorregel in der Optimierung mit Gleichheitsbeschränkung befolgt. Stattdessen habe ich das Konzept der chinesischen Ableitungen in der mehrdimensionalen Analysis verwendet und es sofort intuitiv abgeleitet. Meine Englischkenntnisse stecken definitiv noch in den Kinderschuhen, aber mein selbstbewusstes Auftreten verrät, dass ich dieses Gesetz relativ gut verstehe – das ist auf die Grundkenntnisse zurückzuführen, die ich mir während meines Doktorandenstudiums im Bereich Optimierung an der Universität Nanjing angeeignet habe, und auf die sorgfältige Vorbereitung meiner Rede. Der Gesichtsausdruck des Publikums überzeugte mich davon, dass sie es wirklich verstanden. Das Befriedigendste für einen Redner ist, die Resonanz des Publikums zu spüren! Plötzlich sah ich, wie Professor Li aufstand, weil er gehen wollte, aber zuerst sagte er ein paar Worte, die ich nie vergessen werde, und zwar auf Chinesisch: „Gut gesagt, Sie haben den Marxismus-Leninismus gut gelernt!“

Ein paar Tage später erzählte mir Wang Duo, ein Doktorand der Abteilung, der in etwa dem Alter von Professor Li war und mit dem er sich oft unterhielt, dass Professor Li ihm gesagt habe, dass „Ding Jiu Ideen hat“. Obwohl dieser Kommentar mit fünf Worten übertrieben war, freute er mich, da ich den Test in den Augen meines zukünftigen Doktorvaters im Wesentlichen bestanden hatte. Im traditionellen chinesischen Bildungssystem wird zu viel Wert auf „Wissen“ gelegt, was zu der beneidenswerten Redewendung „gelehrt und kenntnisreich“ führte. Aber in den Augen der Westler sind Gelehrte mit „Gedanken“ kreative Gelehrte.

„Vergessen Sie die Lichtformel“

Wang Duo wurde vor der Kulturrevolution zur Universität zugelassen. Kurz nachdem ich mein Studium an der Universität Nanjing begonnen hatte, wurde er als Doktorand an der Universität Peking zugelassen. Nach seinem Abschluss kam er hierher, um Professor Zhou Xiuyi (1943–2023), den älteren Bruder von Professor Li, zu besuchen und wurde später sein Doktorand. Professor Zhou ist ein Chinese aus Singapur. Nach seinem Universitätsabschluss diente er nicht wie Professor Li ein Jahr lang in der Armee. Stattdessen ging er direkt in die USA und promovierte 1970 bei Professor York. Obwohl er zwei Jahre älter ist als sein jüngerer Mitlehrling, sieht er sehr jung aus. An seinem zarten Gesicht und den strahlenden Augen erkennt man auf den ersten Blick, dass er eine fähige Person ist, die in jedem Bereich Erfolge erzielen kann. Wir haben eine Weile geplaudert, als ich ihn das erste Mal traf. Als ich auf Chinesisch erwähnte, dass ein Mathematikprofessor an einer berühmten chinesischen Universität über ein starkes theoretisches Team in einem bestimmten Fachgebiet verfügte und dass eine seiner theoretischen Forschungsarbeiten in China einzigartig sei, antwortete er mir auf Englisch: „Das machen nicht viele Leute!“, was bedeutete, dass dieses Forschungsthema zu alt sei. Ich war sofort sprachlos und hatte sofort besonderen Respekt vor ihm.

Obwohl die Zahl der Mathematikbücher, die ich außerschulisch an der Universität lese, nicht geringer ist als die der Lehrbücher, sind wir aufgrund der Mechanismen der Graduiertenausbildung im Inland daran gehindert, Kurse in anderen Bereichen zu belegen. Nach meiner Ankunft in den USA habe ich im Wesentlichen nur Fächer belegt, die ich in China nicht systematisch studiert hatte. Als ich im nächsten Jahr sah, dass Professor Zhou einen einjährigen Aufbaustudiengang zum Thema „Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme“ unterrichten würde, meldete ich mich ohne zu zögern für den Kurs an. Professor Zhou war damals erst in seinen Vierzigern, hatte mehrere Forschungsstipendien erhalten, das höchste Gehalt der Abteilung und befand sich in der produktivsten Phase seiner Forschungskarriere. „The Theory of Bifurcation Method“, ein Buch, das er gemeinsam mit Professor Jack K. Hale (1928–2009) von der Brown University verfasste und das Anfang der 1980er Jahre veröffentlicht wurde, ist eines der wichtigsten Nachschlagewerke auf diesem Gebiet. Sein Unterrichtsstil unterscheidet sich stark von dem von Professor Yan oder Professor Aksla und jeder hat seine eigenen Vorzüge. Der Unterricht von Professor Yan ist wie das Gurgeln von Wasser, das das Herz nährt, aber selten großartige und prachtvolle Bewegungen zeigt. Die Beweise von Professor Aksla im Unterricht sind klar, logisch und fehlerlos; Die Auftritte von Professor Zhou auf dem Podium sind einfallsreich und frei, er denkt aus einer Gesamtperspektive, ohne sich um Details zu kümmern, und ist voller Forschungsflair. Er bat uns während des Deduktionsprozesses oft um Hilfe, weil er die trigonometrischen Identitäten vergessen hatte, die im nächsten Schritt verwendet werden sollten. Dies beweist in gewisser Weise, dass die „Forget-Light-Formel“, die Herr Wang Yongcheng oben offen erwähnte, tatsächlich einen Seelenverwandten gefunden hat. Was macht es, wenn Sie sich nicht erinnern können? Was wir Studenten am meisten brauchen, sind Ideen, und Professor Zhou hat uns die Ideen der Forschung vermittelt!

Als die Relativitätstheorie auf der ganzen Welt Anklang fand, gab es einen unwissenden und furchtlosen jungen Mann, der den großen Albert Einstein (1879-1955) auf die Probe stellen wollte, indem er ihn nach der Schallgeschwindigkeit im Wasser fragte. Einstein antwortete ruhig: „Sir, ich kann mich nicht erinnern, aber Sie können es in jedem Physiklehrbuch finden.“ Einmal unterhielt ich mich im Flugzeug auf dem Rückweg nach China mit einem Amerikaner, der neben mir saß, über das chinesische Bildungssystem. Dieser Absolvent der Geschichtsabteilung der University of North Carolina in Chapel Hill ist seit vielen Jahren in Guangdong tätig, um die Produktion von Exportmöbeln zu leiten. Er sagte mir, dass chinesische Ingenieure in Bezug auf die Technologie sehr gehorsam seien. Sie folgen Schritt für Schritt ausländischen Designplänen und haben selten neue und innovative Ideen. Als er über den weit verbreiteten Mangel an Innovation unter chinesischen Studenten sprach, zitierte er eine witzige Bemerkung eines Landsmannes, der früher in Peking Physik unterrichtet hatte: „Wenn ein Lehrer im Unterricht die Gleichung 2+3=5 lehren würde, würden amerikanische Studenten fragen, warum 2 + 3 nicht 4 oder 6 ist, während chinesische Studenten die Formel stillschweigend im Kopf auswendig lernen würden.“ Nicht denken zu können oder nicht denken zu wollen, ist eine der Folgen der jahrtausendealten chinesischen Erziehung durch Auswendiglernen.

Im chinesischen Bildungswesen wird zu viel Wert auf Mnemotechnik gelegt, die Speicherfunktion des Gehirns der Schüler wird bis zum Äußersten ausgereizt, die wichtigste Funktion des Gehirns – das Denken – wird jedoch ignoriert. Daher kann diese Art des Gedächtnisses die Fähigkeit zum Verstehen nicht ergänzen oder mit ihr Schritt halten. Das mechanische Auswendiglernen, das in allen Schulen gefördert wird, lässt sich mit einem Wort zusammenfassen: stures Auswendiglernen. Auch Tiere haben ein Gedächtnis. Inländische Hunde wecken ihre Schwänze gegen bekannte Menschen und bellen Fremde an. Trägertauben können Tausende von Meilen entfernt in ihre Häuser zurückfliegen. Der Unterschied zwischen Menschen und Tieren besteht jedoch darin, dass Menschen denken können, so dass Menschen als "denkend denken" definiert werden können. Menschen können die Natur verändern und die Welt verändern, aber Tiere können nicht. Dies liegt an den Eigenschaften des menschlichen Denkens, nicht an der Erinnerung. Andernfalls würden unsere Hunde und Katzen auch die Welt regieren. Leider kann unsere derzeitige populäre Testausbildung unsere Schüler nur dazu bringen, unüberlegte Menschen zu werden, die sich nur Formeln auswendig lernen können. Der große amerikanische Physiker Richard Feynman (1918-1988) hatte einen guten Vater. Er erzählte seinem Sohn, da es ein Kind war, dass nur die Namen der Dinge kennt, aber nichts über ihre Essenz zu wissen, entspricht dem Wissen nichts. Er gab ein Beispiel und sagte, dass es einen Vogel gibt, der in verschiedenen Sprachen unterschiedliche Namen hat. Selbst wenn Sie hundert Namen eines Vogels auswendig lernen können, aber seine Gewohnheiten nicht kennen, wissen Sie immer noch nichts über diesen Vogel. Dies ist in der Tat eine wundervolle Metapher für unsere Bildungsmethode, um "es zu wissen, aber nicht zu wissen, warum".

Niemand wird in seiner Klasse ein Nickerchen machen

Wenn die Kursnoten von Professor Aksla nicht auf Prüfungen, sondern nur auf regulären Hausaufgaben basieren und seine einzigartigen Bewertungsstandards etwas anders sind als andere, dann war Professor Zhous einfache Methode, die letzten Klassen an Schüler zu geben, die sich in seiner Klasse eingeschrieben haben, noch unerwartet. Ich hörte später, dass diejenigen, die die Klassenaufgaben überreichten, im Grunde genommen ein A bekamen, und diejenigen, die es nicht übergeben haben, haben ein B. Dies bedeutet, dass ein Baby, wenn es sich für diese Klasse registrieren kann, ein B bekommen, weil Babys sicher keine Hausaufgaben machen können. Unabhängig davon, ob diese Bewertungsmethode vernünftig oder zu locker ist, können die Schüler zumindest die Kunst der Forschung aus diesem Kurs schätzen. Einige Menschen können sogar von hier aus anfangen und in die Vorderseite der beliebten Forschung eilen. Professoren, die tatsächlich Forschung betreiben, sind in der Regel besonders nachsichtig mit Studenten, wenn es um Noten geht. Einige Professoren, die ihre Forschungskarriere bereits aufgegeben haben, betrachten die Noten jedoch als das letzte Schild, das ihre Professorialdehörde aufrechterhalten und nicht bereit sind, sich leicht zu entspannen. Wenn die durchschnittliche Punktzahl der Schüler 89,9 beträgt, können sie nur einen unglücklichen B bekommen und keine Chance haben, ein A zu bekommen.

Natürlich war der Unterrichtsstil, der mich am meisten beeindruckte, der von Professor Li Tianyan. Im akademischen Jahr von 1987/88 wurde er vom Institut für mathematische Analyse an der Kyoto University in Japan als einjähriger Gastprofessor eingeladen, und sein Gehalt wurde als eineinhalb Mal ein halbes Mal an einem vollständigen Professor an einer japanischen Universität. Das Institut hat insgesamt zehn Professorienstühle, von denen neun ständige Positionen sind und zu Hauswissenschaftlern gehören, und nur einer wird aus dem Ausland eingestellt. Dort hielt Professor Li eine Reihe von Vorträgen an die Abteilung für Mathematik an der Kyoto University: Ergodische Theorie über [0, 1]. In diesem Jahr sahen wir, die Jünger, die er aus dem chinesischen Festland rekrutierte, normalerweise nicht das scheinbar majestätische Gesicht unseres Mentors. Wir haben jeden Tag frei und energisch gelebt, wie Mäuse, die die Katze nicht sehen konnten. Alle waren jedoch sehr selbstbewusst und arbeiteten hart. Ich habe zwei Doktoranden und Vorbereitungsprüfungen sowie zwei Sekundensprüfungen für Fremdsprachen bestanden. Während ich weiterhin Kurse besuchte, begann ich, die neuesten von anderen veröffentlichten Artikel zu lesen, über Probleme nachzudenken und schrieb meinen ersten akademischen Artikel, nachdem er in die USA gekommen war. Als Professor Li, der im Osten weit weg war, erhielt er den ersten Entwurf meines Artikels und schrieb an mich zurück, gab er mir nicht nur akademische Ratschläge, sondern lobte auch meine subjektive Initiative, um Probleme zu finden und selbst zu forschen.

Im Herbstsemester 1988 beschloss Professor Li Tianyan, der gerade von einem Besuch in Japan zurückgekehrt war, einen einjährigen Kurs zur Traversal-Theorie an. Das Material, das er unterrichtete, basierte hauptsächlich auf den Sprachmanuskripten, die er einfach in Japan zusammengestellt hatte. Ziel war es, formelle Vorlesungen im Klassenzimmer zu haben, um sich auf das mögliche Buchschreiben in Zukunft vorzubereiten. Dies ist mein erstes Mal, dass ich offiziell in seine Klasse einschreibe. Der Kurs wurde als "ausgewählte Vorträge in Advanced Applied Mathematics" bezeichnet. Zusätzlich zu fast allen seiner chinesischen Doktoranden stellten die Registranten auch ein amerikanisches Postdoktorandpaar ein, das ihn zwang, auf Englisch zu unterrichten. Um das englische Niveau der Gastwissenschaftler aus China zu verbessern, sprach der herausragende experimentelle Physiker Samuel Tsung (1936-) absichtlich kein Chinesisch mit ihnen. Aber Professor Li ist genau das Gegenteil. Solange es keine Ausländer gibt, spricht er immer Chinesisch. Selbst in einer Klasse, in der die meisten Schüler Amerikaner sind, zeigt er gelegentlich einige chinesische Tricks. Einmal war er mit der Hausaufgabe mehrerer chinesischer Studenten, die sich für seine Klasse angemeldet hatten, nicht zufrieden. Sobald er an diesem Tag das Klassenzimmer betrat, ging er direkt zur Tafel und schrieb vier große chinesische Charaktere: "高望、低手". Dies machte die Amerikaner, die nicht wussten, was er meinte, lachen und machte seine Schüler, die nur etwa zehn Jahre jünger waren, als er sich verlegen fühlte.

Morris Kline (1908-1992), ein amerikanischer angewandter Mathematiker und Historiker der Mathematik, der die monumentale Arbeit mathematischem Gedanken schrieb, die alte und moderne Mathematik-Gedanken schrieb, gab den Lehrern den folgenden ernsthaften Ratschlägen in Bezug auf Unterricht im Klassenzimmer:

"Ich würde jeden Lehrer dringend bitten, ein Schauspieler zu sein. Er muss jedes Instrument des Dramas verwenden, um Leben und Energie in seine Lehre zu bringen. Er muss die dramatische Wirkung nutzen, wenn es angemessen ist, und Leidenschaft zu zeigen, während er die Fakten erzählt. Das ungewöhnliche und exzentrische Verhalten wird das Interesse der Menschen anregen, und der Humor, der frei verwendet wird, wird die Klasse, auch wenn es anscheinend es scheinbar macht.

Wenn Sie in der Klasse von Professor Li Tianyan sitzen, können Sie möglicherweise Kleins Worte besser verstehen, weil er das Modell für die Interpretation dieser Wörter ist. Sogar diejenigen, die schläfrig sind, werden in seiner Klasse nicht einschlafen. Wenn ich in meinem ersten Semester in den USA seine Klasse belegt hätte, hätte meine Jetlag nicht so lange gedauert. Er ist keineswegs ein alter Gelehrter, der aus einem Lehrbuch liest, noch ist er ein Standardlehrer, der schrittweise erzählt und beweist, und er ist auch kein Lehrer, dessen Sprechgeschwindigkeit, Häufigkeit und Amplitude sich im Laufe der Zeit kaum ändern. Als er unterrichtete, änderten sich seine Gesichtsausdrücke häufig und seine Körpersprache war übertrieben. Bevor er neue mathematische Konzepte einführte, benutzte er immer lebhafte Beispiele, um den Weg für uns zu ebnen, in das Klassenzimmer zu betreten. Die Höhen und Tiefen des Tons waren manchmal wie das Gurgeln von Wasser, manchmal wie die tobenden Wellen, und manchmal wie der amerikanische Bürgerrechtsführer Martin Luther King (1929-1968), der den Satz "Ich habe einen Traum!" in seiner berühmten Rede. Die kontinuierliche Betonung des gleichen mathematischen Begriffs, das Dezibel des Klangs, wurde immer lauter und erregte unsere Leidenschaft voll und ganz.

Im zweiten Semester kam das amerikanische Paar nicht wieder zur Prüfung der Klasse. Das Klassenzimmer war also in jeder Klasse mit taiwanesischem Mandarin mit Standardmandarin gefüllt. Die dynamische Sprache von Professor Li im Unterricht wurde farbenfroser und wir hörten mehr begeistert. Ursprünglich wussten wir fast nichts über die grundlegenden Konzepte der ergodischen Theorie, aber in diesem akademischen Jahr folgten wir ihm, um uns in den Ozean der Theorie zu tauchen, das mehrere Disziplinen reiner Mathematik kombiniert, und "ergodisch" die faszinierenden neuen Nährstoffe glücklich absorbiert. Wie für mich habe ich genau wie der von "Chaos" enthüllte "Schmetterlingseffekt" nie vorausgesagt, dass dieser Kurs zu meiner Doktorarbeit führen würde.

Was diese These sein würde, war etwas, was weder mein Vorgesetzter noch ich erwartet hatten. Wenn ich das nächste Mal über den gesamten Prozess schreibe, kann es jungen Schülern, die von der Auswahl der Themen für ihre Master- oder Doktorarbeit in Schwierigkeitenen sind, einige "Erfahrung" bieten.

Notiz:

Dieser Artikel basiert auf dem überarbeiteten Kapitel 4, "Lesetage", "persönlicher Erfahrungen der amerikanischen Bildung: dreißig Jahre Erfahrung und Reflexion", die 2016 von der Commercial Press veröffentlicht wurde.

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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