Wie oft kann ein Blatt Papier in der Mitte gefaltet werden? Es ist wirklich schwierig, es mehr als sieben Mal zu tun!

Wir beschäftigen uns seit vielen Jahren mit Papier und haben unzählige Papierstücke gefaltet und können diese auch in verschiedene Muster falten. Aber haben Sie sich schon einmal an einer anderen Origami-Herausforderung versucht?

Nehmen Sie ein Blatt normales A4-Papier, falten Sie es in der Mitte und dann noch einmal in der Mitte. Was glauben Sie, wie oft Sie es höchstens in der Mitte falten können?

Blinde Vermutung: Es ein Dutzend Mal zu falten, sollte doch kein Problem sein, oder?

Wenn Sie es jedoch versuchen, werden Sie feststellen:

A4 Papier 7-fach gefaltet | Foto vom Autor zur Verfügung gestellt

Es ist tatsächlich schwierig, ein normales A4-Blatt mehr als sieben Mal zu falten!

Ist 7 Mal wirklich das Limit für Origami-Herausforderungen? Kann diese Einschränkung überwunden werden? Tatsächlich handelt es sich hierbei um ein einfaches mathematisches Problem.

01Mathematische Beschreibung von Origami

Angenommen, die ursprüngliche Länge, Breite und Dicke des Papiers betragen jeweils a, b und t. Nach n-maligem Falten werden die Änderungen der drei Dimensionen in der folgenden Tabelle angezeigt.

Die Beziehung zwischen der Anzahl der Falzungen eines A4-Blattes und der Papiergröße | Bild vom Autor zur Verfügung gestellt

Wie aus der Tabelle ersichtlich, wird bei jeder Faltung in der Mitte die Länge bzw. Breite halbiert, während die Dicke verdoppelt wird. Zwischen ihnen besteht ein 2^n -Potenzverhältnis, was bedeutet, dass sich das Größenverhältnis sehr schnell ändert. In vielen Geschichten geht es um Potenzen von 2^n. Beispielsweise die Frage des Gehalts: Am ersten Tag erhalten Sie 1 Punkt, ab dem zweiten Tag verdoppelt sich dieser täglich. Nach einem Monat wird das Gesamtgehalt 10 Millionen Yuan übersteigen. Ein weiteres Beispiel ist das Königsproblem mit den Reiskörnern auf dem Schachbrett: Auf dem ersten Feld liegt ein Reiskorn, und für jedes weitere Feld verdoppelt sich die Anzahl. Wenn alle 64 Felder ausgefüllt sind, wird das gesamte Königreich und sogar die ganze Welt ausgehöhlt.

Die Beziehung zwischen der Vermehrung von Reiskörnern auf einem Schachbrett | Foto vom Autor zur Verfügung gestellt

Zurück zum Origami-Problem: Beim n-ten Falten beträgt die Dicke des Papiers das 2^n-fache seiner ursprünglichen Dicke. Ein A4-Blatt ist etwa 0,1 mm dick. Wenn er 23 Mal gefaltet wird, beträgt seine Dicke etwa 839 Meter . Das höchste Gebäude der Welt, der Burj Khalifa, ist nur 828 Meter hoch.

Das höchste Gebäude der Welt | Quelle: Photo Network

Nach 42-maligem Falten beträgt die Dicke des Papiers 439.805 Kilometer und übersteigt damit die durchschnittliche Entfernung zwischen Erde und Mond (384.403,9 Kilometer). Wenn er sich 58 Mal in zwei Hälften faltet, wird seine Dicke den Durchmesser des Sonnensystems (etwa 30 Milliarden Kilometer) überschreiten. Wenn es sich 83 Mal in zwei Hälften faltet, kann es aus der Milchstraße (mit einem Durchmesser von etwa 160.000 Lichtjahren) ausbrechen.

Vielleicht können wir eines Tages mit Origami die Sonne erreichen und auf dem Mars landen 😜 Ein kleines A4-Blatt kann mathematisch auf das Universum herabblicken. Wenn es so weitergeht, wird Chang'e 6 überhaupt nicht mehr nötig sein. Ein solch offensichtlicher großer Fehler unterliegt jedoch natürlich den „kosmischen Regeln“, und diese Regeln betreffen Mechanik und Materialien.

02 Die kosmischen Regeln des Origami – Mechanik und Materialien

In Wirklichkeit kann normales A4-Papier normalerweise nur siebenmal in der Mitte gefaltet werden. Nach dem 7-maligen Falten des Papiers beträgt die theoretische Größe des Papiers:

Länge: 18,6 mm

Breite: 26,3 mm

Dicke: 12,8 mm

An dieser Stelle ist die Dicke am geringsten und es scheint nicht schwierig zu sein, es wieder in zwei Hälften zu falten. Aber wenn man es noch einmal in der Mitte faltet, erhöht sich die Dicke auf 25,6 mm, was viel größer ist als die Länge und Breite. Es ist verständlich, dass es derzeit nicht leicht ist, nachzugeben. In Wirklichkeit griffen die „Regeln des Universums“ jedoch schon früher ein. Nach siebenmaligem Falten sah das gesamte Origami sehr verdreht aus, an vielen Stellen war es verzogen und die Abstände zwischen den Papierschichten wurden größer. An diesem Punkt wird es sehr schwierig, es zum achten Mal in der Mitte zu falten. Wie lässt sich das erklären?

Grund 1: Die Herrschaft der Gewalt

Mit zunehmender Anzahl an Origami wird die Größe des Papiers immer kleiner, die Dicke jedoch immer größer. Aus mechanischer Sicht gilt: Je kleiner und dicker das Objekt, desto größer ist die zum Biegen erforderliche Kraft.

Einerseits verringert sich durch die Verkleinerung das durch die Kraft erzeugte Biegemoment und es ist mehr Kraft nötig, um das Papier zu biegen. Andererseits wird das laminierte Papier durch die größere Dicke steifer und weniger anfällig für Verformungen.

Biegekraftvergleich | Foto vom Autor zur Verfügung gestellt

I ist das Trägheitsmoment, b ist die Abschnittsbreite und h ist die Abschnittshöhe. Grund 2: Größenregeln

Kluge Schüler haben vielleicht einige Hinweise entdeckt: Wenn A4-Papier dünner wird, ist das Papier nach dem Falten auch dünner. Dann weist dünneres laminiertes Papier gemäß dem Kraftgesetz eine geringere Steifigkeit auf und lässt sich leichter biegen. Es stimmt, dass es relativ einfach ist, eine dünnere Serviette 8 Mal in der Mitte zu falten, wenn man sie verwendet. Allerdings lässt sich die Papierdicke nicht unendlich reduzieren, sodass die Wahl eines größeren Papierformats dieses Problem ebenfalls lösen kann. Ehe ich mich versah, war Origami zu einer Herausforderung geworden.

Der erste Origami-Rekord wurde im Jahr 2002 aufgestellt. Damals faltete eine Highschool-Schülerin namens Britney Gallivan aus Kalifornien (USA) ein Blatt Papier 12 Mal hintereinander erfolgreich in der Mitte und stellte damit einen Guinness-Weltrekord auf .

Quelle: Wissenschaft, Technik und Technologie

Im Jahr 2012 falteten Schüler der St. Mark's High School in Texas, USA, ein über vier Kilometer langes Stück Papier 13 Mal in der Mitte. Da bei der Endfaltung viele Zusatzeinrichtungen zum Einsatz kamen, wurde dieser Rekord von Guinness nicht anerkannt.

13 unbekannte Rekorde | Quelle: Baijiahao

Das berühmte „MythBusters“-Team fügte das Papier zu einem großen Blatt von 55 x 75 Metern zusammen und faltete es schließlich mithilfe einer Dampfwalze elf Mal in der Mitte.

Das Mythbusters-Team hat 11 Faltungen abgeschlossen | Quelle: YouTube

Grund 3: Strukturelle Regeln

Die Papierblätter werden in der Mitte gefaltet und übereinander gestapelt, sodass eine Struktur entsteht, die einem Laminat ähnelt. Beim Biegen dieser Struktur ohne Bindung zwischen den Schichten bleibt die innere Schicht nahezu unverändert, während die äußere Schicht gedehnt wird. Je dicker das Papier, desto stärker wird die äußere Schicht gedehnt und desto mehr Kraft von außen ist erforderlich. Wenn jede Schicht völlig unabhängig ist und nur auf Reibung beruht, reicht dies nicht aus, um der Biegekraft standzuhalten, und nach dem Biegen kommt es wahrscheinlich zu einem Verrutschen der Schichten. Bei einem vollständigen Blatt Papier werden die Knicke miteinander verbunden. Diese Verbindungskraft und die Reibung zwischen den Schichten erschweren das Gleiten der Schichten und es ist eine größere Kraft erforderlich, um die Biegekraft zu überwinden.

Selbst wenn das Papier dick genug ist, überschreitet die durch das Biegen auf die äußere Papierschicht ausgeübte Zugkraft die Zuggrenze, wodurch das Papier reißt und der Test fehlschlägt. Darüber hinaus verfügt auch eine einzelne Lage gewöhnlichen A4-Papiers über eine gewisse Strukturfestigkeit, weshalb weichere Servietten öfter in der Mitte gefaltet werden können. Handelt es sich um die gleiche weiche und dünne Seide, kann sie auch problemlos mehr als sieben Mal in der Mitte gefaltet werden.

Dünne und weiche Seide wird 8-mal gefaltet｜Foto vom Autor bereitgestellt

Das Multiplikationsverhältnis der Anzahl der Faltungen übersteigt möglicherweise Ihre Vorstellungskraft. Wenn man es höchstens hundertmal faltet, kann man problemlos die Milchstraße durchbrechen und auf das Universum hinabblicken. Allerdings sind der Faltbarkeit von A4-Papier durch die Gesetze des Universums Grenzen gesetzt. Mit zunehmender Anzahl der Falten steigt die erforderliche externe Kraft aufgrund der Reduzierung des Kraftarms und der Erhöhung der Knickverbindungskraft dramatisch an. Wenn Sie es öfter falten möchten, benötigen Sie ein dünneres, weicheres und größeres Flachmaterial.

Nehmen Sie schnell etwas Papier heraus und versuchen Sie, es in der Mitte zu falten. Wenn Sie hart arbeiten, werden Sie vielleicht der neue Guinness-Weltrekordhalter im Origami!

Autor: Wang Yongjian, außerordentlicher Professor der Nanjing Agricultural University, stellvertretender Generalsekretär des Wissenschaftspopularisierungsausschusses der Jiangsu Mechanics Society, leitender Experte für Wissenschafts- und Technologiekommunikation der Provinz Jiangsu

Planung & Bearbeitung: Little Dandelion

Quelle des Titelbildes: TED-Ed