Wie ein Ball, aber kein Ball? Ein „sehr grundlegendes Problem“, das die Mathematikergemeinschaft seit 30 Jahren beschäftigt, ist endlich gelöst

Fünf Mathematiker haben nicht nur ein schwieriges Problem der hochdimensionalen Geometrie gelöst, sondern der mathematischen Gemeinschaft auch einen ersten Einblick gegeben, wie diese mysteriösen höherdimensionalen geometrischen Objekte aussehen könnten. Obwohl diese Formen leicht zu definieren sind, sind sie überraschend mysteriös. Jetzt können Forscher endlich auf eine Ecke des geometrischen Universums zugreifen, die einst völlig unzugänglich war.

Geschrieben von | Jiawei

Ich frage mich, ob Sie schon einmal ein Fahrrad mit dreieckigen Rädern gesehen haben. Ja, die Fahrt ist ruhig und nicht holprig.

Der Ingenieur Sergii Gordieiev erfand das Fahrrad mit dreieckigen Rädern

Platzieren Sie einen Kreis zwischen zwei parallelen Linien, sodass er die Linien tangiert. Dann bleibt der Abstand zwischen den beiden parallelen Linien gleich, egal wie wir den Kreis drehen. Wir nennen diese Eigenschaft konstante Breite.

Der Kreis ist jedoch nicht die einzige Kurve mit konstanter Breite in der Ebene. Wenn die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks als Mittelpunkt eines Kreises und die Seitenlänge als Radius betrachtet werden, dann ist die Figur, die durch die drei Bögen gebildet wird, die das gleichseitige Dreieck umschließen, eine nicht kreisförmige Kurve mit konstanter Breite. Tatsächlich ist es neben dem Kreis die einfachste und bekannteste Kurve mit konstanter Breite: das Reuleaux-Dreieck.

Konstruktion eines Reuleaux-Dreiecks

Da seine Breite konstant ist, ist das Reuleaux-Dreieck eine Antwort auf die Frage: „Welche anderen Formen kann man für Kanaldeckel außer Kreisen herstellen?“ Interessierte Freunde können versuchen, die Eigenschaft der festen Breite zu überprüfen.

Die Form des Fahrradreifens in der obigen Animation entspricht genau dem Reuleaux-Dreieck. Eine feste Breite ermöglicht zwar ein ruhiges Fahrgefühl auf dem Fahrrad, aus praktischen technischen und mechanischen Gründen sind Reuleaux-Dreiecksreifen derzeit jedoch nicht praktikabel. Das heißt allerdings nicht, dass das Reuleaux-Dreieck nur als Gimmick in kurzen Videos dienen kann – seine vielfältigen industriellen Anwendungen stellen wir später noch vor – es ist auch ein wichtiges Forschungsobjekt in der Mathematik.

Das Peinlichste jedoch ist: Je gründlicher wir das Reuleaux-Dreieck und andere Kurven mit konstanter Breite in der Geschichte studieren, desto mehr entdecken wir, wie wenig wir über die Geometrie mit konstanter Breite im dreidimensionalen und höherdimensionalen euklidischen Raum wissen.

Gil Kalai, emeritierter Professor für Mathematik an der Hebräischen Universität Jerusalem, ist einer der führenden Köpfe auf dem modernen Gebiet der Kombinatorik. Vor mehr als zehn Jahren kommentierte er in der Mathematik-Community MathOverflow: „Mengen konstanter Breite (außer Kugeln) hatten nicht das Glück, als Norm des Banach-Raums ausgewählt zu werden, und konnten keine einflussreichen Experten der Banach-Raum-Theorie anlocken, um ihre asymptotischen Eigenschaften in großen Dimensionen zu untersuchen.“ Aus diesem Grund hat die mathematische Gemeinschaft das Studium der Geometrie mit konstanter Breite im hochdimensionalen Raum an den Rand gedrängt. Doch dann änderte er seinen Ton: „...aber sie (hochdimensionale Geometrie mit fester Breite) sind sehr spannend, und dies scheint ein sehr grundlegendes Problem zu sein.“

Die „ganz grundlegende Frage“ bezieht sich hier speziell auf eine scheinbar einfache Frage, die Oded Schramm (ein ehemaliger Student von Professor Kalai) während seines Doktoratsstudiums an der Princeton University im Jahr 1988 stellte: Können wir einen geometrischen Körper mit fester Breite in jeder beliebigen Dimension konstruieren, der exponentiell kleiner ist als eine Kugel?

Diese grundlegende Frage bereitet der mathematischen Gemeinschaft seit mehr als 30 Jahren Kopfzerbrechen. Bis Mai dieses Jahres berichteten fünf Forscher, dass die Antwort „Ja“ lautet.

Sie lösten nicht nur ein schwieriges Problem der hochdimensionalen Geometrie, sondern gaben der mathematischen Gemeinschaft auch einen ersten Einblick, wie diese mysteriösen hochdimensionalen geometrischen Objekte aussehen könnten. Obwohl diese Formen leicht zu definieren sind, sind sie überraschend mysteriös. Jetzt können Forscher endlich auf eine Ecke des geometrischen Universums zugreifen, die einst völlig unzugänglich war.

Von 2D zu 3D und darüber hinaus

Die Methode zum Definieren eines geometrischen Objekts mit fester Breite im dreidimensionalen Raum (nachfolgend als Körper mit fester Breite bezeichnet) ähnelt der oben erwähnten Methode zum Definieren einer Kurve mit fester Breite. Der einzige Unterschied besteht darin, dass eine Kurve zwischen zwei parallelen Linien liegt, während ein fester Gegenstand zwischen zwei parallelen Ebenen liegt. Wenn sich der Abstand zwischen parallelen Ebenen unabhängig von der Bewegung des dreidimensionalen Objekts nicht ändert, sprechen wir von einem dreidimensionalen Körper mit fester Breite.

In ähnlicher Weise können Volumina mit fester Breite im allgemeinen n-dimensionalen Raum definiert werden. Die einzige Möglichkeit besteht darin, die Ebene durch eine n-1-dimensionale Hyperebene zu ersetzen.

Die Kugel im dreidimensionalen Raum und die n-dimensionale Einheitskugel mit einem Radius von 1 im n-dimensionalen Raum (bezeichnet als Bn) sind die Körper mit fester Breite, die man sich am einfachsten vorstellen kann. Aber ist der Ball der einzige Objekttyp mit fester Breite?

Auch Mathematiker haben im Laufe der Geschichte versucht, dies herauszufinden. Sie konstruierten das Reuleaux-Tetraeder im dreidimensionalen Raum, indem sie die Art und Weise nachahmten, wie sie das Reuleaux-Dreieck konstruiert hatten. Die Idee besteht darin, vier Kugelschalen zu konstruieren, wobei die Eckpunkte des regelmäßigen Tetraeders den Mittelpunkt und die Seitenlänge den Radius bilden. Der von einer Kugel umschlossene Raum, der durch vier Kugelschalen geteilt ist, ist das Reuleaux-Tetraeder.

Zunächst wurde spekuliert, dass es sich beim Reuleaux-Tetraeder um einen nicht-sphärischen Festkörper mit fester Breite im dreidimensionalen Raum handele. Aber leider ist das nicht der Fall. Sie können versuchen, dies zu berechnen und zu überprüfen.

Reuleaux-Tetraeder

Die gute Nachricht ist, dass es durch eine lokale „Operation“ in einen Körper mit fester Breite umgewandelt werden kann! Damit haben wir nun den ersten nicht-sphärischen dreidimensionalen Körper mit konstanter Breite – den Meissner-Körper.

Ich glaube, den Lesern ist auch aufgefallen, dass es bereits im dreidimensionalen Raum ziemlich schwierig ist, einen Körper mit fester Breite zu konstruieren, und dass die Schwierigkeit im höherdimensionalen Raum unvorstellbar ist. Um das von Schramm angesprochene Problem zu lösen, muss außerdem Folgendes sichergestellt werden:

Für eine positive Zahl q kleiner als 1 gibt es, wenn n groß genug ist, immer einen n-dimensionalen festen breiten Körper Kn mit der Breite 2, dessen Volumen V(Kn)＜q^n·V(Bn) ist. Wobei V(*) das Volumen des Objekts* darstellt.

Mathematiker können nicht herausfinden, wie hochdimensionale Körper mit fester Breite direkt konstruiert werden können, daher können sie sich nur auf vorhandene Erfahrungen verlassen. Wir folgen den erfolgreichen Pfaden in zwei und drei Dimensionen, beginnen mit einer Reihe von Punkten (genannt „Seeds“) und konstruieren dann eine hochdimensionale Kugel mit jedem Seed als Mittelpunkt. Suchen Sie ein Objekt, das von allen Kugeln umhüllt werden kann, und prüfen Sie, ob es eine konstante Breite hat.

Doch in einer hochdimensionalen Welt ist es eine sehr schwierige Aufgabe, herauszufinden, zu welchen Formen eine Teilmenge von Samen führen kann.

Vier ukrainische Mathematiker, Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Danylo Radchenko und Andriy Primak, experimentierten mit verschiedenen Samen und fanden schließlich eine spezifische Oberfläche. Sie wissen, dass die Oberfläche einen Bereich begrenzt, der einen ausreichend kleinen Körper mit konstanter Breite enthält. Sie wollten jedoch wissen, wie die Karosserie mit fester Breite aussieht.

Auf der Suche nach Antworten stieß Arman auf einen Beitrag aus dem Jahr 2022 auf MathOverflow, der ihn zu Fedor Nazarov von der Kent State University führte. Letzterer hatte unabhängig an Schramms Problem gearbeitet und sein Ansatz ähnelte stark dem des ukrainischen Teams, obwohl auch er auf Schwierigkeiten stieß. Das ukrainische Team lud ihn ein, sich ihnen anzuschließen. Da wurde Nazarov etwas klar, was allen anderen entgangen war: Die von ihrem Seed vorgegebene Form enthielt nicht einfach einen Körper mit fester Breite; es war der Körper mit fester Breite!

Von links nach rechts: Andrii Arman, Andriy Bondarenko und Danylo Radchenko, Fedor Nazarov und Andriy Primak. | Quelle: Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak und Danylo Radchenko konstruierten kleinvolumige Körper mit konstanter Breite | Kombinatorik und mehr (wordpress.com)

In diesem Heureka-Moment fügten sich alle Probleme zusammen. Ihre Arbeit zeigt, dass für jede ausreichend große Dimension n ein Körper Kn mit fester Breite und einer Breite von 2 existiert, der V(Kn)＜0,9^n·V(Bn) erfüllt.

Arman sagte, dass den Schlussfolgerungen zwar komplexe Ideen zugrunde liegen, ihre Konstruktion jedoch einfach genug sei, um von Studenten überprüft zu werden. Tatsächlich ist ihr Papier nur 7 Seiten lang (siehe Referenz [6]) und bietet keine 3D-Darstellung der Konstruktionsgeometrie. In einer Geometriearbeit fehlten Diagramme geometrischer Objekte, was sogar bei vielen Mathematikern zu Beschwerden führte.

Keenan Crane, ein digitaler Geometer und außerordentlicher Professor für Informatik und Robotik an der Carnegie Mellon University, erstellte nach der Methode in der Arbeit ein Bild eines dreidimensionalen, festen, weiten Körpers und wies ausdrücklich darauf hin, dass er selbst ein Bild erstellt habe, da die Originalarbeit kein begleitendes Bild enthielt.

Ein Körper mit konstanter Breite im dreidimensionalen Raum, dessen Volumen kleiner als eine Kugel ist.丨Bildquelle: Keenan Crane, Digitalgeometer und außerordentlicher Professor für Informatik und Robotik an der Carnegie Mellon University

Zurück zu 2D

Obwohl die Arbeit von Arman et al. die asymptotischen Eigenschaften von Körpern mit fester Breite im allgemeinen n-dimensionalen Raum aufgedeckt hat, befindet es sich im Wesentlichen noch im „Haut-und-Haut“-Stadium. Im Vergleich zu zweidimensionalen Kurven mit konstanter Breite wissen wir sehr wenig über die Details hochdimensionaler Körper mit konstanter Breite.

Zusätzlich zu dem zuvor eingeführten Reuleaux-Dreieck gibt es eine große Anzahl von Kurven mit konstanter Breite. Tatsächlich können wir mathematisch beweisen, dass jedes regelmäßige Polygon mit einer ungeraden Anzahl von Seiten durch das Zeichnen eines Bogens eine Kurve mit konstanter Breite erzeugen kann. Solche Kurven mit konstanter Breite werden Reuleaux-Polygone genannt. Das Reuleaux-Dreieck ist das einfachste Reuleaux-Polygon.

Die Kanten von Reuleaux-Polygonen sind jedoch alle Bögen. Gibt es eine Kurve mit konstanter Breite, deren Kanten keine Bögen sind?

Die Antwort ist ja.

Wir haben nicht kreisförmige Bogenverbindungen und glattere algebraische Kurven mit konstanter Breite. Beispielsweise bilden die Nullstellen des folgenden Polynoms eine nicht kreisförmige, glatte algebraische Kurve mit konstanter Breite:

Der Grad der Kurve beträgt 8, was der kleinstmögliche Grad für ein Polynom ist, das eine nicht kreisförmige Kurve mit konstanter Breite definiert.

Für alle Kurven mit konstanter Breite gilt der Satz von Barbier: Der Umfang einer Kurve mit konstanter Breite ist πw (wobei w die konstante Breite ist), unabhängig von ihrer Form.

Darüber hinaus besagt der sehr wichtige Satz von Blaschke-Lebesgue, dass das Reuleaux-Dreieck die kleinste Fläche aller Kurven mit konstanter Breite und gleicher Breite hat. Viele Mathematiker haben versucht, den kleinsten Körper mit konstanter Breite in drei Dimensionen zu finden, jedoch ohne Erfolg.

Armans fünfköpfiges Team hat in den letzten Monaten an der oben genannten Frage gearbeitet, nachdem es Schramms Problem gelöst hatte. Aufgrund fruchtloser Ergebnisse gaben sie jedoch kürzlich bekannt, dass sie das Vorhaben aufgeben und zu ihrer früheren Forschungsarbeit zurückkehren würden.

Geschichte und Anwendungen des Reuleaux-Dreiecks

Schließlich leben wir in einer dreidimensionalen Welt und Spitzenforschung in der hochdimensionalen Geometrie hat oft nur begrenzte Auswirkungen auf das wirkliche Leben. In höheren Dimensionen könnten die von ihnen entdeckten Körper mit fester Breite laut Arman dazu beitragen, Methoden des maschinellen Lernens zur Analyse hochdimensionaler Datensätze zu entwickeln.

Das Reuleaux-Dreieck wurde jedoch zweifellos in verschiedenen Lebens- und Industrieszenarien verwendet. Franz Reuleaux, ein deutscher Ingenieur des 19. Jahrhunderts, war ein Pionier in der Erforschung von Maschinen, die eine Bewegung in eine andere umwandeln. Er verwendete in seinem Entwurf das Reuleaux-Dreieck. Daher kommt auch der Name. Doch seine Geschichte reicht viel weiter zurück.

Eine frühe Anwendung des Reuleaux-Dreiecks stammt aus einer Weltkarte, die Leonardo da Vinci um 1514 zeichnete. Auf dieser Karte war die Kugeloberfläche der Erde in acht Teile unterteilt, die jeweils in die Form eines Reuleaux-Dreiecks gepresst waren.

Weltkarte gezeichnet von Leonardo da Vinci um 1514 | Quelle: Reuleaux-Dreieck – Wikipedia

Der erste Mensch, der die Existenz von Kurven mit konstanter Breite erkannte und feststellte, dass das Reuleaux-Dreieck die Eigenschaft konstanter Breite besitzt, war jedoch wahrscheinlich Leonhard Euler. In seiner Abhandlung De curvis triangularibus, die 1771 veröffentlicht und 1781 überarbeitet wurde, untersuchte Euler krummlinige Dreiecke und Kurven konstanter Breite, die er Quasikreise nannte.

Die Existenz des Reuleaux-Dreiecks und anderer Kurven mit konstanter Breite zeigt, dass sich durch Durchmessermessungen allein nicht feststellen lässt, ob ein Objekt einen kreisförmigen Querschnitt hat.

Im Jahr 1986 explodierte das Space Shuttle Challenger 73 Sekunden nach dem Start und der berühmte Physiker Richard Feynman wurde gebeten, die Unfallursache zu untersuchen. Später wies er nach, dass die O-Ring-Dichtungen, die die Feststoffraketenabschnitte des Shuttles verbinden sollten, aufgrund der niedrigen Temperaturen versagt hatten, was katastrophale Folgen hatte. Aber er fand auch viele andere Probleme. Dazu gehört auch die Art und Weise, wie die NASA die Form von O-Ringen misst. Während der Tests vor dem Flug haben die Ingenieure wiederholt die Breite der Dichtungen gemessen, um sicherzustellen, dass sie sich nicht verformt hatten.

Feynman schrieb später, dass diese Messungen aufgrund der Existenz von Kurven mit konstanter Breite nutzlos seien.

Obwohl sie bei der Messung kreisförmiger Querschnitte versteckte Gefahren bergen, weisen die Formen von Kurven mit konstanter Breite auch sehr nützliche Eigenschaften auf. Derzeit gibt es mehrere Arten von Maschinen, die die Form des Reuleaux-Dreiecks verwenden, basierend auf seiner Fähigkeit, sich innerhalb eines Quadrats zu drehen.

Das Reuleaux-Dreieck rollt innerhalb eines Quadrats und berührt dabei immer alle vier Seiten.

Die Vierkantbohrer von Watts Brothers Tool Works haben die Form eines Reuleaux-Dreiecks, das konkav modifiziert ist, um die Schneidfläche zu erzeugen. Wenn der Bohrer in einem Spezialfutter montiert ist, das keinen festen Drehpunkt hat, kann er ein nahezu quadratisches Loch bohren.

Der deutsche Ingenieur Felix Wankel verwendete das Reuleaux-Dreieck, um einen Verbrennungsmotor zu konstruieren, der durch exzentrische Rotation Druck in Drehbewegung umwandelte.

Taktzyklus des Wankel-KKM-Motors

Vor etwa 50 Jahren gelang es den Ingenieuren von Mazda, den Wankelmotor erfolgreich auf den Markt zu bringen. Rotationsmotoren sind dafür bekannt, dass sie kleiner und leichter als herkömmliche Kolbenmotoren sind und ein besseres Leistungsgewichtsverhältnis aufweisen. Im Gegensatz zu herkömmlichen Motoren haben Rotationsmotoren keine hin- und hergehenden Teile. Es verfügt über einen dreieckigen Rotor, der sich in einem Gehäuse dreht, wodurch der Motor leiser und ruhiger läuft. Dieses Design ermöglicht außerdem eine hervorragende Leistung bei einem gegebenen Hubraum.

Obwohl die Produktion des letzten Modells mit dem Wankelmotor 13B, des RX-8, im Jahr 2012 eingestellt wurde, produziert Mazda weiterhin Wankelmotoren und deren Komponenten und hält damit an der Wankelmotortradition fest.

Der Filmtransportmechanismus im sowjetischen 8-mm-Filmprojektor Luch-2 basiert auf dem Reuleaux-Dreieck.丨Bildquelle: Reuleaux-Dreieck – Wikipedia

Weitere Anwendungen des Reuleaux-Dreiecks sind Gitarrenplektren, manipulationssichere Muttern für Hydranten, bleistiftförmige Designs und mehr.

Das Ende vom Anfang

Wie bereits erwähnt, wandte sich das fünfköpfige Team nach der Lösung des Schramm-Problems anderen Bereichen der diskreten Geometrie zu. Doch sie hinterließen eine neue Welt hochdimensionaler Geometrie, die andere erkunden können.

Im Jahr 2008 kam Schramm, nachdem er in vielen Bereichen der Mathematik große Fortschritte erzielt hatte, bei einem Wanderunfall ums Leben. Als sein ehemaliger Lehrer freut sich Professor Kalai sehr darüber, dass die heutigen Forscher Schramms akademisches Erbe fortgeführt und fruchtbare Ergebnisse hervorgebracht haben.

Bisher, sagte er, habe man angenommen, dass sich Körper mit fester Breite in höheren Dimensionen zumindest hinsichtlich ihrer Volumeneigenschaften wie Kugeln verhalten sollten. Aber das ist nicht der Fall. Das bedeutet, dass die Theorie der höherdimensionalen Geometrie sehr umfangreich ist.

Im Jahr 2010 veröffentlichte Gil Kalai einen Beitrag auf MathOverflow, in der Hoffnung, mehr Mathematiker dazu zu bewegen, sich mit diesem „sehr grundlegenden Problem“ zu befassen – dem Schramm-Problem.

Am letzten Tag im Mai dieses Jahres antwortete Kalai auf diesen längst vergessenen Beitrag: „Das Problem wurde gelöst.“

Danksagung: Wir möchten Professor Yi Ni vom Fachbereich Mathematik am California Institute of Technology für die Überprüfung und Überarbeitung dieses Artikels danken.

Verweise

[1] Kurve konstanter Breite – Wikipedia

[2] Reuleaux-Dreieck – Wikipedia

[3] mg.metrische Geometrie - Volumina von Mengen konstanter Breite in hohen Dimensionen - MathOverflow

[4] Mathematiker entdecken neue Formen zur Lösung eines jahrzehntealten Geometrieproblems | Quanta Magazin

[5] Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak und Danylo Radchenko konstruierten kleinvolumige Körper mit konstanter Breite | Kombinatorik und mehr (wordpress.com)

[6] [2405.18501] Kleinvolumige Körper mit konstanter Breite (arxiv.org)

[7] Wankelmotor – Wikipedia

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