Das mysteriöse π wurde auf 100 Billionen Stellen berechnet. Wie viele Geheimnisse stecken dahinter?

Pi (abgekürzt π) ist eine der geheimnisvollsten und zugleich bekanntesten Zahlen in der Mathematik. Ob in der Architektur, im Ingenieurwesen, in der Luft- und Raumfahrt oder in der Physik, π spielt eine entscheidende Rolle. Einfach ausgedrückt ist Pi das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Es scheint einfach zu sein, diese Nummer zu bekommen. Messen Sie einfach den Umfang eines Kreises und teilen Sie ihn durch den Durchmesser, um Pi zu erhalten.

Die Schwierigkeit besteht jedoch darin, mit welcher Art von Lineal der Umfang dieses Kreises sehr genau gemessen werden kann. Seit der Antike sind Tausende von Jahren vergangen, und dieses leidige Problem ist noch immer nicht vollständig gelöst. Das Ergebnis ist, dass Pi eine irrationale Zahl ist, was bedeutet, dass ihr Dezimalteil unendlich und endlos ist und kein sich wiederholendes Muster aufweist.

Wie viele Dezimalstellen gibt es also? Niemand weiß es, denn bisher weiß man nur, dass es unendlich ist, und Unendlichkeit bedeutet, dass es kein Ende gibt. Vor Tausenden von Jahren versuchten die Menschen der Antike, den genauen Umfang eines Kreises manuell zu messen. Sie berechneten π manuell mithilfe von Linealen und geometrischen Methoden und erhielten einen ungefähren Wert, der schließlich auf neun Dezimalstellen genau war, nämlich 3,141615926. Das ist es, was unser Vorfahre Zu Chongzhi erreicht hat, also können wir stolz darauf sein.

Heute haben Supercomputer dank des Fortschritts der Wissenschaft π auf 100 Billionen Stellen berechnet. Dies bedeutet jedoch nur, dass es sich immer noch um einen Näherungswert handelt und dieser noch nicht ausgeschöpft ist. Was ist das Konzept von 100 Billionen Bits? Wenn ein Mensch von Geburt an mit dem Zählen beginnt und 24 Stunden lang ohne Essen und Trinken weiterzählt und im Durchschnitt zwei Zahlen pro Sekunde zählt, würde dies mehr als 1,58 Millionen Jahre dauern. Mit anderen Worten: Wenn ein Mensch von den Affenmenschen-Vorfahren in der Urzeit ausgeht und von Generation zu Generation weiter rechnet, ist er bis heute noch nicht mit dem Rechnen fertig.

Hat Pi also wirklich so viele Ziffern? Wie sind die Menschen ursprünglich darauf gekommen? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden.

Alte Weisheit: Berechnung von π mit der Kreisscheibenmethode

Ob im Westen oder im Osten, schon in der Antike gab es eine Gruppe weiser Männer, die sich für Pi interessierten und begannen, es zu studieren. Die Kombination östlicher und westlicher Ansätze führte zum gleichen Ergebnis und ergab einen ungefähren Pi-Wert. Im Einzelnen gibt es einige typische Vertreter:

Archimedes' „polygonale Näherung“

Einer der ersten Mathematiker, der π systematisch berechnete, war der antike Grieche Archimedes (ca. 287–212 v. Chr.). Seine Idee ist einfach:

1. Zeichnen Sie einen Kreis, zeichnen Sie dann ein regelmäßiges Sechseck innerhalb des Kreises und zeichnen Sie dann ein weiteres regelmäßiges Sechseck außerhalb des Kreises.
2. Indem wir die Umfänge dieser beiden Sechsecke berechnen, können wir eine Ober- und Untergrenze für π ermitteln.
3. Verdoppeln Sie dann die Anzahl der Seiten des Sechsecks, um daraus ein Zwölfeck zu machen, und berechnen Sie den Umfang erneut.
4. Verdoppeln Sie es weiter, bis es ein 24-Eck, ein 48-Eck usw. wird, bis es sich dem wahren Umfang des Kreises nähert.

Mithilfe dieser Methode schätzte Archimedes den Wert von π auf 3,1408 bis 3,1429, was in einer Zeit ohne Computerwerkzeuge eine erstaunliche Leistung war!

Zu Chongzhi: Berechnungen mit einer Genauigkeit, die der Welt 1.000 Jahre voraus ist

Zu Chongzhi war ein antiker chinesischer Mathematiker während der Nördlichen und Südlichen Dynastien (5. Jahrhundert n. Chr.). Er verbesserte die Methode zur Kreisteilung, indem er einen positiven Kreis in 24.576 Seiten aufteilte. Durch Messen und Berechnen dieser 24.576 Polygone erhielt er einen Näherungswert von π mit höherer Genauigkeit als Archimedes: 3,1415926 bis 3,1415927. Diese Genauigkeit war der Welt um 1.000 Jahre voraus!

Das Problem besteht jedoch darin, dass die Berechnung von π durch die Quadratur des Kreises sehr langsam ist. Wenn Sie einen genaueren π-Wert wünschen, müssen Sie Polygone mit mehr Seiten zeichnen, was den Rechenaufwand exponentiell erhöht und schließlich unerträglich wird. Daher konnte die Genauigkeit von π in den 1.000 Jahren nach Zu Chongzhi nicht mehr verbessert werden. In der Neuzeit begannen Mathematiker, nach effizienteren Berechnungsmethoden zu suchen, die die Berechnungsgeschwindigkeit von π erheblich erhöhten.

Die Macht mathematischer Formeln: π kann ohne Zeichnen genau berechnet werden und ist viel schneller als die Methode, einen Kreis zu schneiden

Die Alten berechneten π, indem sie den Kreis anhand seiner Form approximierten, während moderne Mathematiker Formeln verwenden, um π direkt zu berechnen. Diese Methode ist viel schneller und genauer als die Methode der Kreisteilung. Die repräsentativeren Formeln sind:

18. Jahrhundert: Machins Formel

Im Jahr 1706 schlug der britische Mathematiker John Machin eine Formel zur schnellen Berechnung von π vor:

π=16tan⁡−1(1/5)−4tan⁡−1(1/239)\pi = 16 \tan^{-1} (1/5) - 4 \tan^{-1} (1/239)π=16tan−1(1/5)−4tan−1(1/239)

Mit dieser Formel können Mathematiker π schnell mithilfe einer Reihenentwicklung berechnen, anstatt den Kreis mit der alten Methode zu teilen. Vom 18. bis zum 19. Jahrhundert verbesserten Mathematiker diese Formeln weiter, beispielsweise:

• John W. Wrench und andere berechneten π manuell auf 808 Stellen (1946), was damals ein Weltrekord war.
• Die manuelle Berechnung des 100-stelligen Wertes von π dauert mehrere Monate und die Fehlerquote ist hoch. Gauss-Legendre-Algorithmus – Doppelte Präzision
• Wählen Sie zunächst zwei Zahlen aus, von denen eine den Radius des Kreises und die andere den Umfang des Polygons darstellt.
• Diese beiden Zahlen werden mithilfe mathematischer Formeln ständig angepasst, um sie dem wahren Wert von π immer näher zu bringen.
• Mit dieser Methode lässt sich die Genauigkeit von π bei jeder Berechnung verdoppeln und die Berechnungsgeschwindigkeit ist wesentlich höher als bei der Methode der Kreisteilung. Doch vor dem Aufkommen moderner Computer war die Berechnung von π selbst mit besseren Formeln viel genauer und schneller als bei der Methode der Quadratur des Kreises, und herkömmliche manuelle Berechnungen waren immer noch sehr kompliziert und langsam. Erst 1948 veröffentlichten der Brite Ferguson und der US-Amerikaner Wrench gemeinsam den 808- stelligen Dezimalwert von π, der zum höchsten künstlich berechneten Pi-Wert wurde. Das Aufkommen moderner Computer hat einen qualitativen Sprung bei der Berechnung von π bewirkt.

In den 1970er Jahren hatten Mathematiker einen Weg entdeckt, die Präzision exponentiell zu steigern:

• Wählen Sie zunächst zwei Zahlen aus, von denen eine den Radius des Kreises und die andere den Umfang des Polygons darstellt.
• Diese beiden Zahlen werden mithilfe mathematischer Formeln ständig angepasst, um sie dem wahren Wert von π immer näher zu bringen.
• Mit dieser Methode lässt sich die Genauigkeit von π bei jeder Berechnung verdoppeln und die Berechnungsgeschwindigkeit ist wesentlich höher als bei der Methode der Kreisteilung.

Doch vor dem Aufkommen moderner Computer war die Berechnung von π selbst mit besseren Formeln viel genauer und schneller als bei der Methode der Quadratur des Kreises, und herkömmliche manuelle Berechnungen waren immer noch sehr kompliziert und langsam. Erst 1948 veröffentlichten der Brite Ferguson und der US-Amerikaner Wrench gemeinsam den 808- stelligen Dezimalwert von π, der zum höchsten künstlich berechneten Pi-Wert wurde. Das Aufkommen moderner Computer hat einen qualitativen Sprung bei der Berechnung von π bewirkt.

**Computerberechnung von π: ****1949 wurde die erste Computerberechnung von π durchgeführt, **und die Effizienz verbesserte sich sprunghaft

Im Jahr 1949 berechneten die Amerikaner John von Neumann und Nicholas Metropolis erstmals π mithilfe eines elektronischen Computers. Der von ihnen verwendete Computer war der ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), der mit einer Rechenleistung von 2037 Stellen alle Rekorde der Menschheitsgeschichte im manuellen Rechnen brach.

Vergleich der Verbesserung der Rechenleistung:

• Es hätte Monate gedauert, 808 Ziffern von π manuell zu berechnen, aber ENIAC berechnete 2037 Ziffern in 70 Stunden und erhöhte die Geschwindigkeit damit um ein Hundertfaches.
• ENIAC konnte 5.000 Additionen pro Sekunde durchführen und übertraf damit manuelle Berechnungen bei weitem. Diese Berechnung markierte den ersten Durchbruch in der mathematischen Berechnung mithilfe von Computern und führte auch die Berechnung von π in das moderne Computerzeitalter ein.

1960er-1980er Jahre: Computer-Pi-Berechnungen überschreiten eine Million Ziffern

Mit der Entwicklung der Computertechnologie begannen Mathematiker, effizientere Algorithmen wie den Gauss-Legendre-Algorithmus zu verwenden. Dadurch erhöht sich die Berechnungsgeschwindigkeit von π exponentiell und die Rechenleistung verbessert sich von 70 Stunden für ENIAC zur Berechnung von 2037 Bits im Jahr 1949 auf nur 5 Stunden für CRAY-1 zur Berechnung von 8 Millionen Bits im Jahr 1982, was einer Steigerung um mehr als das Hunderttausendfache entspricht.

1990er Jahre bis heute: Supercomputer berechnen π

Im Jahr 1987 schlugen die Mathematiker der Brüder Chudnovsky eine superschnelle Berechnungsmethode vor:

1π=12∑k=0∞(−1)k(6k)!(545140134k+13591409)(3k)!(k!)3(640320)3k+3/2\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)! (k!)^3 (640320)^{3k+3/2}}π1=12k=0∑∞(3k)!(k!)3(640320)3k+3/2(−1)k(6k)!(545140134k+13591409)

Obwohl diese Formel kompliziert aussieht, besteht ihr Vorteil darin, dass sie extrem schnell berechnet werden kann!

• Mit jeder Berechnung kann die Genauigkeit von π um 1 Million Stellen steigen!

• Dies ist die am häufigsten verwendete Methode zur Berechnung von π mit Computern. Mit Beginn des 21. Jahrhunderts begannen Mathematiker, effizientere Algorithmen (wie den Chudnovsky-Algorithmus) und Supercomputer zu verwenden, und die Berechnungsgeschwindigkeit und -genauigkeit von π wurden weiter verbessert. Das Berechnen von 1.000 Stellen von π würde Monate dauern, ein Computer schafft dies jedoch in Sekunden. Durch die Optimierung mathematischer Formeln und die kontinuierliche Verbesserung von Computern wird die Berechnungsgeschwindigkeit immer schneller und die Berechnungseffizienz verbessert:

• Im Jahr 1949 benötigte ENIAC 70 Stunden, um 2037 Ziffern von π zu berechnen, während ein Supercomputer im Jahr 2022 nur 157 Tage brauchen wird, um 100 Billionen Ziffern zu berechnen.

• Die Anzahl der Rechenbits hat sich von 2.000 auf 100 Billionen erhöht, also um das Fünfmilliardenfache. Die Rechenzeit hat sich jedoch nur um etwa das Tausendfache erhöht, was darauf hindeutet, dass die Rechenleistung von Computern erheblich zugenommen hat. In der heutigen Zeit haben Computer die manuelle Berechnung des π-Wertes vollständig ersetzt. Im Jahr 2023 hat ein Schweizer Forschungsteam mithilfe eines Supercomputers π auf 100 Billionen (10¹⁴) Stellen berechnet und damit den historischen Rekord gebrochen. Heutzutage ist der größte Engpass bei der Berechnung von π nicht mehr die mathematische Formel, sondern die Geschwindigkeit und Speicherkapazität der Computerhardware. Mit der Entwicklung des Quantencomputings könnte die Berechnung von π in Zukunft effizienter werden.

Welchen Sinn hat es, so viele Ziffern von π zu berechnen?

Tatsächlich überschreitet das von uns im Alltag verwendete π normalerweise nicht 3,1416. Selbst wenn die NASA die Umlaufbahn von Raumfahrzeugen berechnet, verwendet sie nur 15 Ziffern (3,14159265358979). Es besteht jedoch weiterhin großes Interesse daran, π mit sehr hoher Präzision zu berechnen:

• Testen der Leistung von Supercomputern: Die Berechnung von π erfordert viele Rechenressourcen und kann die Verarbeitungsleistung und Stabilität des Computers auf die Probe stellen.
• Mathematische Forschung: Mathematiker haben sich gefragt, ob der infinitesimale Teil von π wirklich völlig zufällig ist oder ob es ein verborgenes mathematisches Muster gibt.
• Wissenschaft und Technik: In einigen präzisen wissenschaftlichen Forschungsbereichen (wie etwa Quantencomputern und der Simulation Schwarzer Löcher) ist eine ultrahohe Präzision des π-Werts erforderlich. Auch wenn wir vielleicht nie alle 100 Billionen Ziffern von Pi benötigen, hat der Prozess der Berechnung der Zahl die Bereiche Mathematik, Informatik und Ingenieurwesen vorangebracht.

Die Berechnung des genauen Wertes von π ist noch nicht abgeschlossen, und ein Ende ist nicht in Sicht

Da π eine irrationale Zahl ist, sind seine Dezimalstellen unendlich und wiederholen sich nicht, was bedeutet, dass die Suche nach dem genauen Wert von π niemals enden wird. Von Archimedes' Methode zur Kreisteilung bis hin zum Chudnovsky-Algorithmus von Supercomputern hat die Menschheit mehr als 2.000 Jahre lang nach π gesucht. Heute übertrifft die Berechnungsgenauigkeit von π die praktischen Anforderungen bei weitem, doch Wissenschaftler fordern die Grenzen immer noch heraus, nicht nur um π zu berechnen, sondern auch um die Entwicklung der Mathematik und Informatik voranzutreiben.

Daher ist π nicht nur eine mathematische Konstante, sondern ein Symbol menschlicher Weisheit und technologischen Fortschritts. In Zukunft werden Menschen fortschrittlichere Methoden verwenden, um π weiter zu berechnen und vielleicht seine tieferen Geheimnisse zu lüften!

Dies ist ein Originalartikel von Space-Time Communication. Bitte respektieren Sie das Urheberrecht des Autors. Vielen Dank fürs Lesen.