Liebe zur Mathematik: das außergewöhnliche Genie Galois und seine schöne Theorie

Das mathematische Genie Galois starb im Alter von 20 Jahren in einem Duell und beendete damit sein kurzes Leben, doch die Essenz seiner Gedanken wird für immer im langen Fluss der Geschichte weiterfließen.

Von Kasper Müller

Übersetzung | Xu Zhaoqing

Am frühen Morgen des 30. Mai 1832 ertönte ein Schuss und der erst 20-jährige Évariste Galois fiel verwundet ins taufeuchte Gras. Eine der faszinierendsten und geheimnisvollsten Figuren der Geschichte nähert sich dem Ende ihres Lebens.

Galois | Bildquelle: Wikimedia Commons

Einführung

Dies ist eine Geschichte über Liebe und Mathematik und über einen sehr klugen jungen Mann. Seine gekritzelten Manuskripte eröffneten einen der schönsten und interessantesten Bereiche der Mathematik und lösten eine Revolution in der Art und Weise aus, wie wir über Gleichungen denken. Er löste nicht nur ein 350 Jahre altes Problem, seine Theorie lieferte auch Antworten auf mehrere 2.000 Jahre alte Fragen. Wir werden später darauf zurückkommen.

Genauer gesagt beschäftigte sich Galois mit dem Problem, die Nullstellen von Polynomen zu finden. (Anmerkung des Übersetzers: Die Nullstellen eines Polynoms, auch Lösungen eines Polynoms genannt, sind die Werte von x, die die Funktion des Polynoms p(x) zu Null machen)

Damals wussten die Mathematiker bereits, dass es keine allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln von Polynomen vom Grad 5 oder höher gab. (Mit Formel meinen wir hier das Ziehen der n-ten Wurzel und das Anwenden der vier Rechenoperationen. Dieses Konzept wird auch als radikale Lösbarkeit bezeichnet und in diesem Artikel als lösbar bezeichnet.) Galois wollte jedoch verstehen, warum einige Polynome hohen Grades radikal lösbar sind und andere nicht. (Anmerkung des Übersetzers: Hier können die Leser die Formel zum Finden der Wurzeln eines quadratischen Polynoms als Beispiel verwenden, um das Konzept der Lösbarkeit von Wurzeln zu verstehen.)

Beispielsweise ist die Gleichung x5-1=0 lösbar und wir nennen diese Lösungen Einheitswurzeln fünfter Ordnung. Diese Lösungen sind wunderbar gleichmäßig auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene verteilt, der gleichzeitig die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks, also fünf fünfte Einheitswurzeln, bildet.

Einige Polynomgleichungen der Ordnung d (wobei d ≥ 5) sind also tatsächlich lösbar! Die Galois-Theorie befasst sich mit der Frage, warum dies genau der Fall ist und welche Gleichungen grundsätzlich lösbar sind, und nicht nur mit der Erkenntnis, dass einige Gleichungen unlösbar sind.

Dass manche Polynomgleichungen unlösbar sind, wurde von einem anderen Genie demonstriert: dem jungen norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel. Tatsächlich haben auch mehrere große Mathematiker wie Paolo Ruffini und Augustin-Louis Cauchy dazu beigetragen, aber niemand hat eine Theorie vorgeschlagen, die der von Galois nahe kam, und niemand konnte den Grund genau erklären.

In diesem Artikel werden wir zunächst einen historischen Überblick über Galois‘ Leben und seine Person geben und dann kurz auf seinen frühen und mysteriösen Tod im Alter von 20 Jahren eingehen. Anschließend werden wir uns das Gesamtbild seiner wunderbaren mathematischen Theorie anschauen und erörtern, warum sie so elegant ist.

Obwohl es unmöglich ist, die gesamte Galois-Theorie in einem Artikel abzudecken, hoffe ich, dass ich Ihnen etwas von ihrer Eleganz und Schönheit gezeigt habe und dass sie Sie dazu inspiriert, sie selbst zu studieren und zu erforschen.

Galois

Galois wurde am 25. Oktober 1811 geboren. Schon in jungen Jahren interessierte er sich für Mathematik und entdeckte im Alter von 14 Jahren Adrien-Marie Legendres Éléments de Géométrie. Es heißt, er habe das Buch „wie einen Roman“ gelesen und es beim ersten Lesen gemeistert.

Im Alter von 15 Jahren begann er, die Arbeiten von Lagrange zu lesen, die ihn möglicherweise stark inspirierten.

Obwohl Galois in seiner Freizeit hart arbeitete, fehlte ihm im Unterricht die Motivation.

In den Jahren 1828 und 1829 wurde er zweimal von der École Polytechnique abgelehnt, der damals renommiertesten Mathematikschule Frankreichs. Beim ersten Mal lag es an seinen schlechten Leistungen in bestimmten Fächern, beim zweiten Mal daran, dass er die mündliche Prüfung nicht bestanden hatte. Er soll die mündliche Prüfung vermasselt haben, hieß es. (Anmerkung des Übersetzers: Die Ecole Polytechnique gilt als die führende technische Universität Frankreichs und wird als Höhepunkt des französischen Elite-Bildungsmodells gefeiert.)

Von diesem Moment an verging die Zeit wie im Flug. Im Jahr 1829 veröffentlichte Galois eine Abhandlung über Kettenbrüche und etwa zur gleichen Zeit verfasste er einige Aufsätze über Polynomgleichungen. Der Rezensent war kein anderer als einer der größten Mathematiker seiner Zeit: Augustin-Louis Cauchy.

Obwohl Cauchy Galois vorschlug, seine Arbeit bei der Französischen Akademie der Wissenschaften für den Grand Prix einzureichen, veröffentlichte er die Arbeit von Galois nicht.

Bis heute weiß niemand, warum Cauchy es nicht veröffentlicht hat. Manche sagen, er habe die Bedeutung von Galois‘ Ideen erkannt, ihm aber vorgeschlagen, dass dieser vor der Veröffentlichung noch einige Änderungen vornehmen solle. Andere sagen, dass die Politik eine Rolle gespielt habe. (Offenbar hatten Cauchy und Galois widersprüchliche politische Ansichten, was damals eine große Sache war.)

Am 28. Juli 1829 starb Galois' Vater. Galois hatte eine sehr enge Beziehung zu seinem Vater, daher war dies ein schwerer Schlag für ihn.

Auf Cauchys Anregung hin reichte Galois 1830 bei einem anderen Giganten der Mathematik, Joseph Fourier, eine Abhandlung über die Theorie der Gleichungen ein. Unglücklicherweise starb Fourier bald darauf und Galois‘ Arbeit ging verloren.

Dies war sicherlich ein Rückschlag für Galois, aber er gab nicht so schnell auf. Später in diesem Jahr veröffentlichte er drei Artikel. In einem davon wurde die Theorie skizziert, die später als Galois-Theorie bekannt wurde, und in dem anderen handelte es sich um die erste Untersuchung des mathematischen Konzepts, das wir heute als endliche Körper bezeichnen und das später im Bereich der Zahlentheorie große Bedeutung erlangte.

Um Galois‘ Situation und Leben zu verstehen, müssen wir verstehen, was damals in Frankreich geschah. Dies geschah mitten in der Julirevolution in Frankreich, auch bekannt als Zweite Französische Revolution, und Galois nahm nicht nur an der Revolution, sondern auch an den Kämpfen und Debatten teil. Er beteiligte sich an Straßenunruhen und verbrachte seine Zeit mit dem Studium von Mathematik und Politik.

Das Geheimnis um Galois' Tod

In den Jahren nach dem Tod seines Vaters wurde Galois zunehmend gewalttätig und wurde mehrmals verhaftet. Im Januar 1831 versuchte Galois erneut, seine Theorie zu veröffentlichen, doch der große Mathematiker Siméon Denis Poisson hielt seine Arbeit für „obskur“.

Galois saß zu dieser Zeit im Gefängnis und war sehr wütend über Poissons Ablehnung seiner Arbeit. Doch dieses Mal nahm er die Kritik irgendwie ernst und begann, seine Arbeit zu überarbeiten, indem er seine Stellungnahme sorgfältiger verfasste.

Galois wurde am 29. April 1832 freigelassen. Nicht lange danach war er in ein Duell verwickelt.

Über dieses berühmte Duell wird viel spekuliert. Aus einem Brief, den Galois fünf Tage vor dem Duell schrieb, ging hervor, dass er verliebt war und dass das Duell seiner Geliebten galt.

In der Nacht vor dem Duell war Galois überzeugt, dass er sterben würde, und blieb die ganze Nacht wach, um seinen größten Beitrag zur Mathematik zu verfassen: den berühmten Brief an Auguste Chevalier, in dem er seine Ansichten darlegte, sowie drei begleitende Manuskripte.

Die letzte Seite von Galois' Manuskript丨Bildquelle: Wikimedia Commons

Der Mathematiker Hermann Weyl sagte über das Manuskript:

„Wenn man nach der Neuheit und Tiefe der darin enthaltenen Ideen urteilt, ist dieser Brief vielleicht das reichhaltigste Schriftstück der gesamten Literatur der Menschheit.“

Dies ist ein berühmtes Zitat eines großen Mannes.

Am Morgen des 30. Mai 1832 wurde Galois in den Bauch geschossen und anschließend von seinen Gegnern im Stich gelassen.

Am nächsten Morgen starb Galois, erst 20 Jahre alt.

Die Geschichte danach

Im Jahr 1843 überprüfte Joseph Liouville Galois‘ Manuskript und erklärte es für korrekt. Die Abhandlung wurde schließlich 1846 veröffentlicht, 14 Jahre nach Galois’ Tod.

Es dauerte jedoch länger, bis die Theorie unter Mathematikern Anklang fand und die Menschen ihre Geheimnisse wirklich verstanden.

Tatsächlich hat Liouville den theoretischen Kern der Galois-Methode – die Gruppe – völlig übersehen. Erst um die Jahrhundertwende wurde die Galois-Theorie vollständig verstanden und als Kernstück der abstrakten Algebra etabliert. Es dauerte fast hundert Jahre, bis diese Theorie zum Standardinhalt des Algebraunterrichts wurde.

Der bekannteste Abschnitt des Galois-Manuskripts ist der Beweis, dass es keine Formel zum Finden der Wurzeln von Polynomen fünften Grades gibt – das heißt, Gleichungen von Polynomen fünften und höheren Grades können im Allgemeinen nicht durch Wurzeln gelöst werden.

Wie oben erwähnt, hatte Abel bereits 1824 bewiesen, dass die „quintische Formel“ zum Lösen von Radikalen unmöglich sei, doch Galois führte eingehendere theoretische Untersuchungen durch und schlug die aktuelle Galois-Theorie vor.

Mit dieser Theorie kann bestimmt werden, ob eine beliebige Polynomgleichung radikale Lösungen hat.

Galois war der erste, der den Begriff „Gruppe“ prägte, und die von ihm verwendete Definition war (fast) dieselbe, die wir heute an verschiedenen Universitäten und Hochschulen verwenden. Er führte die Konzepte der Normalteiler und endlichen Körper ein, die wir später besprechen werden.

Im Wesentlichen war Galois einer der Begründer der modernen Gruppentheorie und abstrakten Algebra.

Die Gruppentheorie befasst sich mit der Symmetrie und findet breite Anwendung in vielen mathematischen und physikalischen Disziplinen. Abstrakte Algebra wird auch als „Sprache der modernen Mathematik“ bezeichnet.

Ich erinnere mich genau, dass ich vor meinem Kurs zur Galois-Theorie bereits viele Kurse zur abstrakten Algebra belegt hatte, etwa Gruppentheorie, Ring- und Idealtheorie, Körpertheorie und Modultheorie (Modul bezieht sich auf den linearen Raum auf dem Ring, nicht auf den Körper), die alle sehr abstrakt waren.

Später lernte ich die Galois-Theorie kennen und wandte vieles von dem an, was ich zuvor gelernt hatte, insbesondere die Gruppentheorie und die Körpertheorie. Schließlich kann ich all diese abstrakten mathematischen Objekte verwenden, um zu beweisen, warum bestimmte Polynomgleichungen keine radikalen Lösungen haben, und das ist nicht die gesamte Galois-Theorie.

Genau aus diesem Grund finde ich die Galois-Theorie so schön.

Galois-Theorie

Die Galois-Theorie verbindet zwei Teilgebiete der abstrakten Algebra – die Gruppentheorie und die Körpertheorie.

Wie bereits erwähnt, wurde die Entstehung der Galois-Theorie durch die folgende Frage ausgelöst:

Gibt es für eine Polynomgleichung vom Grad 5 oder höher eine Formel, mit der alle Wurzeln, d. h. alle Lösungen der Gleichung, unter Verwendung der Koeffizienten des Polynoms, der üblichen algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Wurzeln (Quadratwurzel, Kubikwurzel usw.) ausgedrückt werden können?

Obwohl der Satz von Abel-Ruffini ein Gegenbeispiel lieferte, nämlich dass es Polynomgleichungen gibt, für die ein solcher Ausdruck nicht existiert, lieferte die Theorie von Galois eine vollständigere und klarere Antwort auf die vorherige Frage, indem sie erklärte, warum es für einige Gleichungen, einschließlich aller Gleichungen vom Grad 4 und niedriger, möglich ist, radikale Lösungen zu finden, und warum viele Gleichungen vom Grad 5 und höher keine radikalen Lösungen haben.

Die moderne Galois-Theorie verwendet die Sprache der Gruppen und Körper. Ich werde daher versuchen, die Galois-Theorie zu erklären, ohne zu sehr in andere Dinge einzutauchen. Der Vollständigkeit halber werden wir diese mathematischen Konzepte jedoch kurz vorstellen.

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie ist die Lehre von Symmetrien.

Stellen Sie sich ein Quadrat vor: Dieses Quadrat hat eine gewisse Symmetrie – wenn Sie es um 90 Grad drehen, sieht es gleich aus, und das Gleiche gilt für 180 und 270 Grad. Wenn Sie es um 360 Grad drehen, kehrt es natürlich in seinen ursprünglichen Zustand zurück.

Um den Überblick zu behalten, können wir uns vorstellen, dass die vier Ecken des Quadrats markiert sind, damit wir wissen, wie wir transformieren müssen.

Es gibt auch eine Art Spiegelsymmetrie, beispielsweise die Wahl einer Achse oder Linie, die durch die Mitte des Quadrats verläuft und es in zwei gleich große Rechtecke unterteilt. Sie können das Quadrat entlang dieser Linie spiegeln und es wird immer noch gleich aussehen, aber diese Transformation unterscheidet sich von einer Drehung.

Der letzte Typ ist triviale Symmetrie (nichts ändert sich).

Zu jeder Symmetrie gibt es eine Antisymmetrie: Beispielsweise heben sich eine 90-Grad-Drehung im Uhrzeigersinn und eine darauf folgende 90-Grad-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gegenseitig auf, was zu einer trivialen Symmetrie führt.

Dieses Konzept kann algebraisch verallgemeinert werden.

Eine Gruppe G besteht aus einer Menge und einer Operation, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. Für Elemente g und h in zwei Gruppen führt die Operation zum Element g*h in der Gruppe;

2. Es gibt ein Identitätselement e, sodass jedes Element g nach der Operation damit unverändert bleibt, g*e=e*g=g;

3. Für jedes Element g gibt es ein inverses Element a, sodass g*a=a*g=e.

Im obigen Beispiel sind die Elemente der Gruppe die Transformationen selbst. Beispielsweise sind eine 90-Grad-Drehung und die oben erwähnte Spiegelungstransformation beides Elemente der Gruppe. Wir bezeichnen die 90-Grad-Drehung als σ und die Spiegelungstransformation als τ.

Die Operationen dieser Gruppe sind lediglich Zusammensetzungen von Transformationen. So erhalten wir σ*τ, indem wir es zuerst entlang der Symmetrieachse spiegeln und dann um 90 Grad drehen. Wir können jedoch feststellen, dass σ*τ≠τ*σ, also ist in der Gruppe die Reihenfolge der Elementoperationen wichtig. (Anmerkung des Übersetzers: Gehen wir hier davon aus, dass die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt und dass die vier Ecken des Quadrats nummeriert sind, sodass der Leser durch Zeichnen überprüfen kann, dass das Ergebnis, wenn man zuerst umdreht und dann dreht, ein anderes ist als das Ergebnis, wenn man zuerst dreht und dann umdreht.)

Das Konzept einer Gruppe ist also eine Möglichkeit, Symmetrie zu abstrahieren. Tatsächlich ist die Gruppe der abstrakten Transformationen so groß, dass wir nicht einmal wissen, wie wir einige davon visualisieren sollen.

Aber eine der einfachsten Gruppen ist jedem bekannt: Die Menge aller ganzen Zahlen und die Additionsoperation bilden eine Gruppe.

Wenn wir zwei ganze Zahlen addieren, erhalten wir eine dritte ganze Zahl (die Menge ist in Bezug auf die Addition stabil). Das Identitätselement ist 0, da für jede Ganzzahl k 0+k=k+0=k gilt und das inverse Element einfach -k ist, also k+(-k)=0.

Also,

Es ist eine Gruppe. Aber welche Symmetrie verkörpern die Gruppe der ganzen Zahlen und die Additionsoperation? Die Antwort ist Translationssymmetrie. Addiere eine Ganzzahl k

Es kann als Translationsdistanz k entlang der Zahlenachse betrachtet werden, wobei positiv und negativ die Richtung darstellen.

Domänentheorie

In der Mathematik ist ein Körper eine besondere Art von Ring. Sie können sich eine Domäne als eine Menge mit zwei Operationen vorstellen, normalerweise Addition und Multiplikation, + und *. Die Addition und Multiplikation sind hier möglicherweise keine üblichen Operationen, sie hängen von der Domäne ab

Bevor wir die Schönheit der Galois-Theorie diskutieren, müssen wir auch wissen, was das Zerlegungsfeld ist. Aber es ist ganz einfach.

Betrachten Sie ein Polynom f n-ten Grades, dessen Koeffizienten alle rationale Zahlen sind. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass das Polynom n-ten Grades f genau n komplexe Wurzeln hat (einschließlich der Multiplizität der Wurzeln).

Das letzte Konzept ist der Automorphismus einer Domäne K. Es ist ein cleveres Wort für eine Permutation, die die Struktur in einer Domäne bewahrt. Wenn σ ein Automorphismus von K ist, dann

σ(x+y)=σ(x)+σ(y), σ(x*y)=σ(x)*σ(y)

Und σ ist eine Bijektion, das heißt, diese Abbildung ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

Nehmen wir an, dass Körper K eine Erweiterung von Körper F ist, d. h. F ist ein Unterkörper von K. wir können einen Automorphismus σ auf K eines festen Körpers F betrachten, sodass für jedes Element x des Körpers F gilt: σ(x)=x.

Der Fundamentalsatz der Galois-Theorie

Für ein gegebenes Polynom können verschiedene algebraische Gleichungen unterschiedliche Wurzeln in Beziehung setzen. (Algebraische Gleichungen beziehen sich in diesem Artikel auf Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten.)

Die Grundidee der Galois-Theorie besteht darin, die Permutation von Wurzeln so zu betrachten, dass nach der Permutation die ursprünglich erfüllte algebraische Gleichung weiterhin gültig ist.

Die durch diese Permutationen gebildete Gruppe wird als Galois-Gruppe des Polynoms bezeichnet.

Lösbare Gruppe

Galois selbst hat es damals verstanden und in seinem berühmten Manuskript untersucht. Betrachten Sie ein Polynom f. Wenn die Galois-Gruppe von f eine lösbare Gruppe ist, dann ist das Polynom durch Radikale lösbar, andernfalls nicht.

Natürlich muss ich Ihnen auch sagen, was lösbar für eine Gruppe bedeutet.

Betrachten Sie eine Gruppe G und ihre Untergruppe H, H＜G. Wenn die folgenden Bedingungen gelten: für ein Element h in H und ein Element g und sein Inverses a in der Gruppe G, das Element g*h*a∈H, nennen wir H eine Normalteiler von G.

Dies bedeutet, dass H unter der Wirkung der Gruppe G oder unter der Konjugation der Elemente der Gruppe G invariant ist.

Allgemeiner können wir eine Äquivalenzrelation zwischen Normalteilern H und Elementen der Gruppe G konstruieren. Dies erfordert die Anwendung der Nebenklassentheorie, wir setzen jedoch nicht voraus, dass der Leser damit vertraut ist, und es geht über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Daher sagen wir hier, dass diese Äquivalenzrelation eine neue Gruppe konstruieren kann.

Abschluss

Das Schöne an der Galois-Theorie ist, dass wir jedes Polynom einer Gruppe zuordnen können, die algebraische Informationen über ihre Wurzeln bewahrt. Durch das Studium dieser Gruppe können wir diese algebraischen Informationen in die Welt der Polynome übertragen.

Ich habe bereits erwähnt, dass wir diese Theorie verwenden können, um einige sehr alte Probleme zu beweisen.

Als Nebenprodukte der Galois-Theorie erwiesen sich die Probleme der „Verdoppelung des Würfels“ und der „Quadratur des Kreises“ schließlich als unlösbar. Sie alle beziehen sich auf die zuvor erwähnte Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen.

Évariste Galois war zweifellos ein Genie ersten Ranges. Die Zeit und das Umfeld brachten ihm viele Schwierigkeiten, und seine Lässigkeit galt in der mathematischen Gemeinschaft als unkonventionell und wird heute teilweise nicht mehr akzeptiert, da die Mathematik große Genauigkeit und Vorsicht erfordert, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden. Mathematiker verwenden häufig das Wort „Strenge“, um diese Anforderung zu beschreiben.

Das heißt aber nicht, dass seine Theorie falsch ist. Die Galois-Theorie ist richtig und schön! Es wird heute in vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet, unter anderem in Andrew Wiles' Beweis des Großen Fermatschen Theorems und in der algebraischen Zahlentheorie.

Die Idee, eine Gruppe zur Darstellung einer anderen Struktur zu verwenden, ist genial. Diese Idee wird heute in vielen Bereichen angewendet. Beispielsweise können wir in der algebraischen Topologie eine Gruppe untersuchen, um Informationen über den topologischen Raum zu erhalten. in der algebraischen Geometrie können wir die Lösungsmenge von Polynomen mithilfe der Ringtheorie und der Idealtheorie untersuchen; die Punkte auf der elliptischen Kurve bilden eine Gruppe und so weiter.

Liebe Leser, wenn Sie es bis hierher geschafft haben, hoffe ich, dass Ihnen diese Reise durch Galois gefallen hat. Bitte lass es mich in den Kommentaren wissen.

Danke fürs Lesen.

Kasper Müller, Aus Liebe zur Mathematik
https://www.cantorsparadise.com/for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09

Besondere Tipps

1. Gehen Sie zur „Featured Column“ unten im Menü des öffentlichen WeChat-Kontos „Fanpu“, um eine Reihe populärwissenschaftlicher Artikel zu verschiedenen Themen zu lesen.

2. „Fanpu“ bietet die Funktion, Artikel nach Monat zu suchen. Folgen Sie dem offiziellen Account und antworten Sie mit der vierstelligen Jahreszahl + Monat, also etwa „1903“, um den Artikelindex für März 2019 zu erhalten, usw.

Copyright-Erklärung: Einzelpersonen können diesen Artikel gerne weiterleiten, es ist jedoch keinem Medium und keiner Organisation gestattet, ihn ohne Genehmigung nachzudrucken oder Auszüge daraus zu verwenden. Für eine Nachdruckgenehmigung wenden Sie sich bitte an den Backstage-Bereich des öffentlichen WeChat-Kontos „Fanpu“.