"Einfache" ungelöste mathematische Rätsel

Es ist lange her, seit wir über Mathematik gesprochen haben. Lassen Sie uns heute über etwas Unbeschwertes sprechen. Dies ist das ungelöste Rätsel der Mathematik. Wenn Sie diesen Titel hören, denken Sie vielleicht zuerst an die Riemann-Hypothese, die Goldbach-Vermutung, die ABC-Vermutung usw. Diese Dinge sind so tiefgründig. Ich schalte es besser aus und höre mir Liu Fuskys Prahlereien nicht mehr an. Aber keine Panik. Die ungelösten mathematischen Rätsel, über die wir heute sprechen werden, können von Grundschülern verstanden werden. Wenn Sie keinen Grundschulabschluss haben, vergessen Sie es einfach und machen Sie es sich nicht schwer. Obwohl sie einfach erscheinen, ist ihr Schwierigkeitsgrad nicht geringer als der von Problemen auf höherer Ebene wie der Goldbach-Vermutung. Im Laufe der langen Geschichte der Mathematik haben Generationen von Mathematikern ihr Bestes gegeben, um sie zu lösen, aber noch immer hat niemand sie herausgefunden. Ich habe das Ganze grob geordnet und heute machen wir eine kurze Bestandsaufnahme.

Das erste Problem ist das 3x+1-Problem.

Die Problemstellung besteht darin, dass Sie diese Operation ausgehend von einer beliebigen positiven Ganzzahl wiederholen müssen. Wenn es eine gerade Zahl ist, dividieren Sie sie durch 2. Wenn es eine ungerade Zahl ist, multiplizieren Sie sie mit 3 und addieren Sie 1. Erhalten wir nach all dieser Mühe also immer einen Zyklus wie 4,2,1,4,2,1...?

Was bedeutet das? Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen Sie eine positive Ganzzahl, sagen wir 28, das ist eine gerade Zahl. Teilen Sie es durch 2, um 14 zu erhalten, was immer noch eine gerade Zahl ist. Teilen Sie es erneut durch 2, um 7 zu erhalten, was eine ungerade Zahl ist. Verwenden Sie also 3 × 7 + 1 und das Ergebnis ist 22. Wenn wir die Operation fortsetzen, erhalten wir die folgende Sequenz:

11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1… und dann beginnt der Zyklus.

Sie können jede beliebige positive Ganzzahl auswählen und ich bin davon überzeugt, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten. Gilt dies für alle positiven ganzen Zahlen? Dieses Problem scheint sehr einfach, hat aber viele Mathematiker beschäftigt. Einen Hinweis können wir aus der Entwicklung des Namens dieses Problems gewinnen. Dieses Problem hat beispielsweise viele Namen: Colaz-Vermutung, Syracuse-Problem, Kakutani-Vermutung, Hasse-Algorithmus, Ulam-Problem usw. Später war es zu verwirrend, sodass man es einfach 3x+1-Problem nannte. Kurz gesagt, auf diese Frage gibt es noch keine Antwort. Wenn Sie tatsächlich eine Ausnahme finden, werden Sie definitiv in die Geschichte der Mathematik eingehen.

Die zweite Frage ist Frage 196.

Dies ist eine Frage zu Palindromen. Palindrome sind sehr einfach. Ein Buch ist dasselbe, egal ob man es vorwärts oder rückwärts liest, z. B. 181, 343 usw. Wenn Sie nun zufällig eine positive Ganzzahl auswählen und immer wieder umgekehrt geschriebene Zahlen hinzufügen, erhalten Sie am Ende auf jeden Fall ein Palindrom? Versuchen wir es zum Beispiel mit 69.

69+96=165;

165 + 561 = 726;

726+627=1353;

1353 + 3531 = 4884.

OK, in nur vier Schritten erhalten wir ein Palindrom. Probieren Sie es selbst aus. Manche Zahlen erfordern möglicherweise viele Rechenschritte, aber am Ende erhalten Sie ein Palindrom. Intuitiv gesprochen erhalten wir auf jeden Fall ein Palindrom, wenn wir eine Zahl immer positiv und negativ addieren. Der Computer berechnet es und findet nichts Falsches. Doch es gibt eine Ausnahme, und das Rätselhafte daran ist, dass es sich bei dieser Ausnahme nicht um eine große Zahl von Zehntausenden oder Hunderttausenden von Ziffern handelt, sondern um 169. Mathematiker haben zwar mit Computern Hunderte Millionen Schritte berechnet, aber noch immer kein Palindrom erstellt. Kann also 169 ein Palindrom erzeugen? Wenn nicht, wie kann es bewiesen werden? Wenn ja, wie viele Schritte sind dafür erforderlich? Warum ist es so besonders? Dieses Problem hat bis heute keine Antwort.

Das dritte Problem ist die Gilbreth-Vermutung.

Der Urheber der Idee war ein Mathematiker namens Gilbreth. Eines Tages, während er in einem Restaurant auf sein Essen wartete, nahm er eine Serviette und schrieb die Folge der Primzahlen darauf:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31...

Dann ermittelte er die Differenz zwischen den beiden benachbarten Termen und das Ergebnis war:

1,2,2,4,2,4,2,4,6,2...

Setzen Sie diesen Vorgang fort und erhalten Sie eine neue Sequenz:

1,0,2,2,2,2,2,2,4...

Wiederholen Sie diesen Vorgang:

1,2,0,0,0,0,0,2...

Solange Sie Zeit haben, können Sie es schaffen. Schließlich werden wir ein Muster finden, bei dem die erste Zahl in jeder Zeile der Folge 1 ist. Nachdem Gilbreth diese Entdeckung gemacht hatte, fand er sie sehr interessant und bat seine beiden Studenten, sie zu überprüfen. Und tatsächlich: Als die Brüder bis zur 64419. Zeile rechneten, war der Anfang der Folge immer noch 1, aber der Meister und seine beiden Schüler hatten keine Ahnung, wie sie das beweisen sollten. Im Jahr 1958 präsentierte Gilbreth seine Entdeckung auf einer Mathematikkonferenz und die Gilbreth-Vermutung war geboren. Natürlich gab es definitiv Leute, die das nicht glaubten, und so rechnete 1993 ein Mann namens Andrew Odlitzko in einem Rutsch bis zur 346-milliardsten Zeile und fand immer noch keine Ausnahmen. Handelt es sich hierbei also um eine eiserne Regel? Dies konnte bisher nicht bewiesen werden.

Das vierte Problem wird Hinmaster-Vermutung genannt.

Das Werkzeug, das wir dieses Mal verwenden werden, ist das sehr bekannte Pascalsche Dreieck, auch bekannt als Pascalsches Dreieck. Im Pascalschen Dreieck ist die Zahl 1 natürlicherweise die am häufigsten vorkommende Zahl. Es gibt unendlich viele dieser Zahlen. Welche Zahl kommt also außer der 1 am häufigsten vor? Wenn wir zählen, werden wir feststellen, dass 6 dreimal vorkommt, aber das ist nicht zu viel. 10 kommt 4 Mal vor, was auch akzeptabel ist. Welche Zahl ist also die höchste? Die aktuelle Antwort ist 3003, eine Zahl, die im Pascalschen Dreieck insgesamt 8 Mal vorkommt. Gibt es Zahlen, die häufiger vorkommen? Dies bleibt vorerst ein Rätsel.

Pascalsches Dreieck

Im Jahr 1971 schlug der Mathematiker David Hinmaster mithilfe einer unbekannten Methode vor, dass es eine Obergrenze für die Häufigkeit gibt, mit der eine positive ganze Zahl im Pascalschen Dreieck vorkommt. Die Grenze ist noch unbekannt, könnte aber bei 8, 10 oder 12 liegen. Gibt es also diese Obergrenze und wie hoch ist diese Obergrenze? Die mathematische Gemeinschaft hat noch keine Antwort. Okay, das ist alles für heute.