Werden sich die parallelen Linien der Traurigkeit eines Tages kreuzen?

Wenn es um parallele Linien geht, kennt sie jeder – zwei parallele Abschnitte von Eisenbahnschienen, schwarz-weiße Zebrastreifen, das sind parallele Linien, die man im Leben beobachten kann. Auch in literarischen Werken finden wir solche Beschreibungen: „Zwei Menschen sind wie parallele Linien, und sie kreuzen sich nie.“

Unserer Meinung nach haben parallele Linien die Eigenschaft, sich nie zu schneiden. Manche Leute sagen jedoch: „Parallele Linien treffen sich in einem Punkt im Unendlichen.“

Schneiden sich parallele Linien an irgendeinem Punkt? Werden sie sich im Unendlichen treffen?

Abbildung 1 Parallele Schienen (Bildquelle: Baidu Encyclopedia)

Um dieses Problem zu verstehen, müssen wir zunächst verstehen, woher das Sprichwort stammt, dass sich parallele Linien nie schneiden.

Parallele Linien entstehen aus dem fünften Axiom der ebenen Geometrie

Beim Studium der Geometrie entdeckte Euklid, ein antiker griechischer Mathematiker und Vater der Geometrie, dass sich manches geometrische Wissen durch langjährige und wiederholte menschliche Übung als richtig erwiesen hat und nicht aus anderem Wissen abgeleitet werden muss. Euklid gab dann in seinen Elementen[1] fünf Axiome an und baute auf dieser Grundlage ein geometrisches System auf. Die fünf Axiome sind:

Axiom 1: Eine gerade Linie kann von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt gezogen werden

Axiom 2: Ein endliches Liniensegment kann erweitert werden

Axiom 3: Ein Kreis kann mit jedem beliebigen Punkt als Mittelpunkt und jeder beliebigen Entfernung gezeichnet werden

Axiom 4: Alle rechten Winkel sind gleich

Axiom 5: Wenn eine Gerade zwei andere Geraden in derselben Ebene schneidet und die Summe der beiden Innenwinkel auf einer Seite kleiner ist als die Summe der beiden rechten Winkel, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite, nachdem sie ins Unendliche verlängert wurden.

Von den fünf Axiomen scheinen die ersten vier relativ prägnant und klar zu sein, während das fünfte Axiom relativ langatmig ist.

Spätere Forschungen und Herleitungen zeigten, dass das fünfte Axiom den folgenden zwei Aussagen entspricht: Eine besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt; die andere ist, dass durch einen Punkt außerhalb einer Geraden nur eine Gerade verläuft, die die Gerade nicht schneidet.

Die beiden Geraden in der zweiten Aussage, die sich nie schneiden, heißen parallele Linien. Daher stammt das Sprichwort, dass sich parallele Linien nie treffen. Da das fünfte Axiom mit der Parallelität zusammenhängt, wird es auch Parallelenaxiom genannt.

Nichteuklidische Geometrie vs. Parallelenaxiom

Seit das fünfte Axiom der ebenen Geometrie vorgeschlagen wurde, haben Mathematiker begonnen, über eine Frage nachzudenken: Kann dieses Axiom durch andere Axiome ersetzt werden?

Im 19. Jahrhundert versuchten Gauss, Baczewski, Bolyai und andere unabhängig voneinander, verschiedene parallele Axiome zu verwenden. Schließlich wurden auf der Grundlage der Anzahl der Linien, die durch einen Punkt außerhalb der Geraden gezogen werden können und parallel zur bekannten Geraden verlaufen, zwei neue geometrische Systeme gebildet: die Lobatschewski-Geometrie und die Riemann-Geometrie.

Da sich diese beiden Systeme von der euklidischen Geometrie unterscheiden, werden sie zusammenfassend als „nichteuklidische Geometrie“ bezeichnet.

Die Lobatschewski-Geometrie, abgekürzt Lobatschewski-Geometrie, besagt, dass durch einen Punkt außerhalb einer Geraden mindestens zwei Linien gezogen werden können, die parallel zur bekannten Geraden sind.

Abbildung 2 Lobatschewski-Geometrie (Quelle: Baidu Image)

Die in Abbildung 2 dargestellte hyperbolische Oberfläche veranschaulicht dies visuell. Auf einer hyperbolischen Fläche können aufgrund der Raumkrümmung mehrere zur bekannten Geraden parallele Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden gezogen werden.

Da diese Geometrie die Verhältnisse im hyperbolischen Raum beschreibt, wird sie auch „hyperbolische Geometrie“ genannt.

In einem solchen hyperbolischen Raum können mehrere Linien durch einen Punkt außerhalb der Geraden gezogen werden, die parallel zur bekannten Geraden verlaufen. Wenn Sie außerdem ein beliebiges Dreieck im hyperbolischen Raum zeichnen, ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks kleiner als die Summe der Innenwinkel in der ebenen Geometrie (180°).

Die Riemannsche Geometrie geht davon aus, dass es keine Linie gibt, die parallel zu einer gegebenen Linie verläuft und durch einen Punkt außerhalb der Linie verläuft. Die Lobatschewski-Geometrie betrachtet die Geometrie hyperbolischer Flächen, während die Riemann-Geometrie die Geometrie elliptischer Räume betrachtet.

Daher wird die Riemannsche Geometrie auch „elliptische Geometrie“ genannt.

Abbildung 3 Riemannsche Geometrie (Bildquelle: Baidu Image)

Abbildung 3 demonstriert anschaulich die Eigenschaften der Riemannschen Geometrie. In einem elliptischen Raum ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks kleiner als 180 Grad. Und weil alle Geraden im elliptischen Raum durch den Punkt im Unendlichen am oberen Rand des elliptischen Raums verlaufen, ist es unmöglich, eine Parallele zu einer bekannten Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden zu ziehen.

Daher stammt auch die Aussage, dass sich „parallele Linien im Unendlichen schneiden“.

Tatsächlich schneiden sich gemäß der Definition der Geometrie alle Geraden im Unendlichen, wenn wir die Riemannsche Geometrie zur Untersuchung von Problemen verwenden, und das Konzept paralleler Geraden existiert nicht, da parallele Geraden in der mathematischen Definition Geraden sein müssen, die sich niemals in derselben Ebene schneiden.

Aus dieser Perspektive ist die Aussage „Parallele Linien schneiden sich im Unendlichen“ zwar ein falscher mathematischer Satz, hat aber einen gewissen künstlerischen Wert.

Welchen Anwendungswert hat die nichteuklidische Geometrie?

Die ebene Geometrie hat einen großen Anwendungswert in unserem wirklichen Leben. Von der mechanischen Fertigung im kleinen Maßstab bis hin zur groß angelegten Messung geografischer Informationen sind Berechnungen der ebenen Geometrie unverzichtbar. Aus diesem Grund lernen wir seit unserer Kindheit ebene Geometrie.

War die nichteuklidische Geometrie also nur eine spontane Erfindung der Mathematiker? Hat die nichteuklidische Geometrie irgendeinen Anwendungswert?

Die Antwort ist ja.

Die nichteuklidische Geometrie hat einen hohen Anwendungswert in bestimmten Bereichen und bei bestimmten Problemen.

Aus dem Obigen können wir ersehen, dass die nichteuklidische Geometrie hauptsächlich zur Untersuchung geometrischer Probleme im hyperbolischen und elliptischen Raum, zwei nichtplanaren Räumen, verwendet wird. Auch in unserem realen Leben ist der nicht-planare Raum weit verbreitet.

Es gibt zwei häufigste Situationen, in denen nicht-planarer Raum auftritt:

Der erste Fall ist die Verzerrung des Raums, die durch massive Himmelskörper verursacht wird.

Gemäß den einschlägigen Theorien der Allgemeinen Relativitätstheorie wird sich der Raum in der Nähe massereicher Himmelskörper deutlicher krümmen. Im Alltag stellen wir fest, dass ein schwerer Ball, der auf ein gestützte Tuch gelegt wird, das Tuch verbiegt.

Im Universum sind massive Himmelskörper die schweren Kugeln, die Druck erzeugen, und die Raumstruktur ist das stützende Tuch. Schließlich entsteht, wie in Abbildung 4 dargestellt, eine gewisse Raumkrümmung um die massereichen Himmelskörper.

Abbildung 4: Massive Himmelskörper erzeugen eine deutliche Raumkrümmung (Bildquelle: Baijiahao)

Bei der Reise in einen derart gekrümmten Raum sind die entsprechenden Kenntnisse der ebenen Geometrie nicht mehr anwendbar, sondern es kommt die nichteuklidische Geometrie ins Spiel. Die von einem einzelnen Himmelskörper erzeugte Raumkrümmung ähnelt einem Ellipsoid, während mehrere Himmelskörper im Grenzbereich einen gekrümmten Raum erzeugen können, der einer hyperbolischen Oberfläche nahekommt.

Sollten Menschen sich jemals aufmachen, das riesige Sternenmeer des Universums zu erforschen, wird die Berechnung der geometrischen Beziehungen im gekrümmten Raum auf der Grundlage der nichteuklidischen Geometrie eine wesentliche Technologie für die Verwirklichung der Raumfahrt sein.

Beim zweiten Typ nicht-planarer Räume weist die lebende Ebene selbst eine vernachlässigbare Krümmung auf.

Die Erde, auf der wir leben, ist eigentlich ein Ellipsoid. Wenn wir die Erde vom Weltraum aus betrachten, können wir leicht erkennen, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist. Derzeit können die geometrischen Verhältnisse auf der Erde durch die räumliche Festkörpergeometrie analysiert werden.

Wenn wir jedoch nur auf der Erde beobachten und die Perspektive nicht aus dem Weltraum gewinnen können, dann entsprechen die geometrischen Verhältnisse im zweidimensionalen Raum auf der Erdoberfläche tatsächlich den relevanten Eigenschaften der elliptischen Geometrie.

Basierend auf dieser Eigenschaft der Erdoberfläche kann die Riemannsche Geometrie zur Vermessung der Erdoberfläche verwendet werden. Durch die Untersuchung der Geodäten auf der Erdoberfläche mit Methoden der Riemannschen Geometrie entstand die Disziplin der „Geodätischen Geometrie“.

Daher hat die Riemannsche Geometrie in der nichteuklidischen Geometrie einen sehr hohen Anwendungswert beim Studium geografischer Informationen, der Luftfahrt und Navigation und anderer Fragen auf der Erdoberfläche.

Um abschließend auf unsere ursprüngliche Frage zurückzukommen: Die mathematische Definition paralleler Linien selbst lautet, dass es keinen Schnittpunkt gibt und sich parallele Linien im Unendlichen nicht treffen. Es ist nur so, dass sich in der Riemannschen Geometrie zwei scheinbar „parallele“ Geraden im Unendlichen treffen, es sich dabei aber nicht wirklich um parallele Linien handelt.

Obwohl parallele Linien dazu bestimmt sind, sich nicht zu schneiden, hat die Untersuchung paralleler Linien und des fünften Axioms der ebenen Geometrie zur nichteuklidischen Geometrie wie der Lobatschewski-Geometrie und der Riemann-Geometrie geführt, die in verschiedenen Bereichen breite Anwendung finden. Dies ist bei der mathematischen Forschung häufig der Fall: scheinbar fantastische und „nutzlose“ Dinge können letztendlich im wirklichen Leben Anwendung finden.

Quellen:

[1] Euklid, Lan Jizheng, Zhu Enkuan. Euklids Elemente[M]. Shaanxi Wissenschafts- und Technologieverlag, 2003.

Autor: Kantinenwissenschaft Popularisierung

Produziert von: Science Popularization China

Hersteller: China Science Expo