Ökonomie in der Physik: Was ist das Prinzip der kleinsten Wirkung?

Heute werde ich Ihnen von einem ökonomischen Prinzip der Physik erzählen – dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Dieses ökonomische Prinzip spiegelt sich auch in der Weisheit unserer Vorfahren wider, nämlich in dem Satz im Tao Te King: „Der große Weg ist sehr einfach, aber die Menschen bevorzugen Abkürzungen.“

Wir müssen mit optischen Phänomenen beginnen. Im antiken Griechenland fasste Euklid das Gesetz der Spiegelreflexion zusammen, das besagt, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist. Später erkannte Herodes von Alexandria, dass sich der Lichtstrahl so verhielt, weil er den kürzesten Weg nehmen wollte.

Wenn wir mit der heutigen Mathematik die Funktion der Weglänge aufschreiben, die von Punkt A ausgeht und durch einen Reflexionspunkt verläuft, um Punkt B zu erreichen, lautet die Bedingung, unter der das Differential (Null) der Weglänge in Bezug auf die Koordinaten des Einfallspunkts erhalten werden kann, ... Dies ist das sogenannte Reflexionsgesetz.

Später achtete man auf die Lichtbrechung. Wenn wir in einem Medium von Punkt A aus starten, durch den Einfallspunkt gehen und in einem anderen Medium Punkt B erreichen, die Weglängenfunktion aufschreiben und ihre Ableitung in Bezug auf die Koordinaten des Einfallspunkts (die Null ist) ermitteln, können wir die Bedingung für den kürzesten Weg ableiten, die lautet. Dies ist das sogenannte Brechungsgesetz.

Wir können sehen, dass das Brechungsgesetz und das Reflexionsgesetz zum Prinzip des kürzesten Weges zusammengefasst werden können, sodass wir uns vorstellen können, dass es eine Art Universalität besitzen könnte. Lassen Sie mich Ihnen nun ein Beispiel erzählen, das nichts mit Optik zu tun hat. Wir stellen uns vor, dass ein kleiner Mönch aus dem Tempel kommt, einen Eimer zum Fluss trägt, um Wasser zu holen, und dann den Gemüsegarten bewässert. Die Masse (das Gewicht) des Eimers ist auf den beiden Wegen unterschiedlich. Der Weg, bei dem diese Masse (Gewicht) als Gewicht verwendet wird, ist die Summe der Entfernungen vom Punkt A zum Fluss und vom Fluss zum Gemüsegarten. Wenn wir die kürzeste Bedingung dafür finden, können wir eine Formel aufstellen.

Dies ist eine Art Mischung der Gesetze der Reflexion und Brechung. Dies zeigt uns allen, dass das Gesetz des kürzesten Weges in gewisser Weise universell sein könnte.

Wenden wir uns nun dem Problem der Mechanik zu. Im 17. Jahrhundert hatte Galileo das Fallgesetz und Newton das zweite Newtonsche Gesetz aufgestellt. Viele mechanische Probleme erfordern jedoch weiterhin besondere Aufmerksamkeit. Betrachten wir beispielsweise einen kleinen Ball, der von Punkt A nach Punkt B fällt. Was wäre der kürzeste Weg? Wir können auch ein statisches Problem betrachten. Wie ist die Konfiguration einer Kette, die an zwei Punkten hängt, wenn sie im Gleichgewicht ist? Was ist das ökonomische Prinzip der Hängekette, also des Kettenlinienproblems? Wir glauben, dass seine gesamte potentielle Energie unter einer solchen Konfiguration am geringsten ist. Mit anderen Worten: Wir können die potentielle Energie als Integral der Kettenform schreiben und indem wir die Bedingung für ihren Mindestwert finden, erhalten wir die Form der Kettenlinie.

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Dies führt zu einem sehr komplizierten Problem, nämlich der Funktion von Funktionen. Das Problem, wie man den Extremwert einer Funktion bezüglich einer Funktion findet, ist tatsächlich ziemlich schwierig. Im Jahr 1696 rief Johann Bernoulli die Welt zum Handeln auf und forderte eine Lösung für das Abseilproblem. Sein Bruder, Jacob Bernoulli, entwickelte eine mathematische Methode zum Auffinden der Extremwerte von Funktionsfunktionen, die eine Weiterentwicklung der Differentialmethode – der Variationsrechnung – darstellt.

Bisher haben wir gesehen, dass wir, unabhängig davon, ob es sich um solche Bewegungen oder statische Konfigurationen handelt, die Bedingung für das minimale Integral einer Funktion über die Konfiguration oder den Pfad finden müssen. Möglicherweise kennen wir die Form einer solchen Funktion nicht. Wenn sein Integral ein Extremwert sein soll, muss es dieser berühmten Gleichung genügen, der Euler-Lagrange-Gleichung. Natürlich ist es nicht so einfach, manchmal müssen andere Bedingungen erfüllt werden. Beispielsweise muss bei der Oberleitung die Bedingung erfüllt sein, dass die Länge der Oberleitung unverändert bleibt.

Auf jeden Fall ist heute jedem klar, dass unsere physikalischen Gesetze einem bestimmten ökonomischen Prinzip genügen können, nämlich der Minimierung einer bestimmten Menge. In den Jahren 1741 bis 1746 gelangte der französische Wissenschaftler Maupertuis zu dem Schluss, dass jede Bewegung einem Gesetz gehorchen muss: dem Prinzip der kleinsten Wirkung.

Da es dem Prinzip der kleinsten Wirkung genügt, wie sieht diese Wirkung aus? Er gab ein Beispiel und sagte, dass bei der Bewegung eines freien Teilchens die Wirkung oder Anstrengung dieser Bewegung gleich der Masse multipliziert mit seiner Geschwindigkeit multipliziert mit seiner Verschiebung sein sollte, integriert über den gesamten Weg. Ist diese Form des Handelns sinnvoll oder nicht? Wenn wir uns nur einen dicken Mann beim Laufen ansehen, werden Sie verstehen, wie vernünftig das ist. Wenn ein dicker Mann rennt, ist seine Anstrengung natürlich proportional zu seinem Gewicht, proportional zu seiner Geschwindigkeit, multipliziert mit seiner Entfernung, integriert über den gesamten Weg. Natürlich ist dies eine einfache Situation.

Bei der Untersuchung der Bewegung von Teilchen in einem Potentialfeld gelangte der britische Wissenschaftler Hamilton zu dem Schluss, dass die gesamte Aktion ein Integral einer Lagrange-Funktion über die Zeit sein sollte und die Lagrange-Funktion die kinetische Energie des Teilchens abzüglich seiner potentiellen Energie ist. Dieses Prinzip des minimalen Aufwands hat eine sehr tiefgreifende Bedeutung. Wir können es von Punktteilchen auf Felder erweitern und es verwenden, um Probleme elektromagnetischer Felder und Gravitationsfelder zu behandeln.

Für elektromagnetische Phänomene müssen wir nur die Lagrange-Funktion des elektromagnetischen Felds aufschreiben und das Prinzip der kleinsten Wirkung verwenden, um seine Gleichung zu erhalten. Wenn wir bei Gravitationsproblemen die Lagrange-Funktion des Gravitationsfelds aufschreiben, können wir mithilfe des Prinzips der kleinsten Wirkung auch die Gleichung des Gravitationsfelds erhalten. Aus den Anforderungen des Prinzips der kleinsten Wirkung an die Lagrange-Funktion, also die Euler-Lagrange-Gleichung, geht klar hervor, dass ein Erhaltungssatz abgeleitet werden kann, wenn die Lagrange-Funktion keine explizite Funktion der Koordinaten ist.

Im Jahr 1918 stellte sich die berühmte Mathematikerin Amy Noether die Frage, ob es möglich sein könnte, entsprechende Erhaltungsgrößen zu konstruieren, wenn diese Lagrange-Funktion viele verborgene Symmetrien aufwiese. So entstand der berühmte Artikel „Das invariante Variationsprinzip“ und seither verfügt die menschliche Gesellschaft über echte theoretische Physik. Das Prinzip der kleinsten Wirkung wurde schließlich weiterentwickelt. Wir können sehen, dass das Prinzip der kleinsten Wirkung die Lagrange-Funktion aus der Wechselwirkung konstruiert und ihr Erhaltungsgesetz aus der Lagrange-Funktion ableitet. Können wir auch das Gegenteil tun und die Erhaltungssätze bestimmter physikalischer Phänomene, die wir aus Experimenten gewonnen haben, nutzen, um deren Symmetrie zu finden, wodurch wir die entsprechende Lagrange-Funktion konstruieren und dann das Prinzip der kleinsten Wirkung nutzen, um diese Wechselwirkung zu untersuchen? Dies ist die Phase im späteren Stadium der theoretischen Physik, in der die Symmetrie die Interaktion bestimmt.

Und was ist das Prinzip der kleinsten Wirkung? Ich kann es so zusammenfassen, dass alles auf dieser Welt extrem ist. Natürlich ist das Prinzip der minimalen Maßnahmen ein sehr tiefgründiges Thema und es ist schwierig, es in einem so kurzen Artikel klar zu erklären.

Abschließend möchte ich Sie an ein Wort aus den westlichen Sprachen erinnern: Verständnis. Auf Englisch heißt es „comprehend“, auf Französisch könnte es „comprehendre“ heißen, aber wörtlich bedeutet es „zusammennehmen“. Was bedeutet das? Wenn ich Sie bitte, mir zehn Fußbälle zu bringen, können Sie das möglicherweise nicht tun. aber wenn ich dir einen Netzbeutel gebe und du die Bälle zusammenlegst, kannst du sie mitnehmen. Das Prinzip der minimalen Aktion ist die Art von Prinzip, die es Menschen ermöglicht, viel Wissen mit einer Hand aufzunehmen. Es ist ein Prinzip über Prinzipien. Ich hoffe, dass jeder im zukünftigen Physikstudium dem Prinzip der kleinsten Wirkung mehr Aufmerksamkeit schenken kann.

Dieser Artikel ist eine vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützte Arbeit

Autor: Cao Zexian

Bewertet von: Luo Huiqian

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.