Wie beweist man den Satz des Pythagoras? Einstein und Zhao Shuang, wessen Methode ist einfacher?

Die Geschichte des „Satzes des Pythagoras“ lässt sich bis ins 1. Jahrhundert v. Chr. zurückverfolgen, und das Buch, in dem der Satz des Pythagoras vorgestellt wurde, war „Zhou Bi“. Später in der Tang-Dynastie wurde „Zhou Bi“ als Lehrbuch für das Fach Ming Suan im Imperial College aufgeführt und in „Zhou Bi Suanjing“ umbenannt.

Im alten China wurde die kurze Seite eines rechtwinkligen Dreiecks als „Hypotenuse“, die lange Seite als „Kathete“ und die Hypothenuse als „Sehne“ bezeichnet. Das Zhoubi Suanjing hat die Beziehung zwischen Hypothenuse und Kathete klar und deutlich festgehalten. Sie ist das, was wir alle wissen: Das Quadrat der Hypothenuse plus das Quadrat der Kathete ergibt das Quadrat der Sehne, und daher hat der „Satz des Pythagoras“ auch seinen Namen. Allerdings waren es nicht nur unsere Vorfahren, die diesen Lehrsatz entdeckten. Etwa ein halbes Jahrhundert später entdeckte auch der berühmte antike griechische Mathematiker und Philosoph Pythagoras dieses Gesetz, daher wird der Satz des Pythagoras auch „Satz des Pythagoras“ genannt.

Allerdings ist die Entdeckung des Satzes des Pythagoras eine Sache, sein Beweis eine ganz andere.

Bis heute sind weltweit fast 500 Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras bekannt. Der erste Chinese, der nach Zhoubi Suanjing den Satz des Pythagoras bewies, dürfte ein Mann namens Zhao Shuang gewesen sein. Zhao Shuang war im alten China ein berühmter Mathematiker und Astronom. Er wurde in der späten Östlichen Han-Dynastie geboren und stammte aus Wu, das während der Zeit der Drei Reiche unter der Herrschaft von Sun Quan stand. Sein größter Beitrag zur Mathematik war seine eingehende Forschung zum Zhoubi Suanjing und die Erstellung der Zhoubi Suanjing Notes. In diesem Buch verwendete er eine einfache Methode, um die Richtigkeit des Satzes des Pythagoras zu beweisen. Wie hat Zhao Shuang den Satz des Pythagoras bewiesen? Er fügte vier identische rechtwinklige Dreiecke zu einem großen Quadrat zusammen, und die vier Seiten des Quadrats waren die Sehnen der vier rechtwinkligen Dreiecke oder die Hypothenusen.

Auf dem Bild können wir erkennen, dass das von Zhao Shuang zusammengestellte große Quadrat aus vier rechtwinkligen Dreiecken und einem kleinen Quadrat besteht.

Offensichtlich ist die Fläche des großen Quadrats gleich der Fläche der vier rechtwinkligen Dreiecke plus der Fläche des kleinen Quadrats in der Mitte. Wie groß ist die Fläche des großen Quadrats? Es ist das Quadrat der Sehne. Wie groß ist die Fläche des kleinen Quadrats? Es ist das Quadrat der Kathete minus der Hypothenuse. Wie groß ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks? Es ist die Hälfte von „Kent multipliziert mit der Hypothenuse“. Jetzt können wir die drei Flächen als eine Gleichung ausdrücken: (Sehne – Hypothenuse)² + (4X1/2XSehne X Hypothenuse) = Sehne². Durch Vereinfachen dieser Gleichung erhalten wir das Endergebnis: Hypothenuse²+Kathete²=Sehne². Der Satz des Pythagoras wurde erfolgreich bewiesen.

Zhao Shuang war nach Zhoubi Suanjing der erste Chinese, der den Satz des Pythagoras bewies. Der erste Mensch auf der Welt, der den Satz des Pythagoras bewies, dürfte Euklid gewesen sein, denn obwohl Pythagoras der erste Mensch im Westen war, der den Satz des Pythagoras aufstellte, ist seine Beweismethode nicht überliefert.

Obwohl Zhao Shuang nicht der erste Mensch auf der Welt war, der den Satz des Pythagoras bewies, war seine Beweismethode recht einfach. Hat also jemand anders einen einfacheren Beweis gefunden? Ja, zum Beispiel hat der uns allen wohlbekannte Physiker Einstein im Alter von 11 Jahren seine eigene Methode verwendet, um den Satz des Pythagoras zu beweisen, und die Methode, die er verwendete, war ebenfalls sehr einfach. Mal sehen, wessen Methode im Vergleich zu der von Zhao Shuang einfacher ist. Die von Einstein verwendete Methode bestand darin, das rechtwinklige Dreieck in zwei Hälften zu teilen.

Einstein verwendete den rechten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks als Scheitelpunkt und zeichnete eine senkrechte Linie senkrecht zur Hypothenuse, sodass das rechtwinklige Dreieck in zwei Teile geteilt wurde.

Die aktuelle Situation ist sehr interessant. Im gesamten Bild gibt es drei Dreiecke, nämlich das kleine Dreieck, das große Dreieck und das größte Dreieck vor der Teilung, und diese drei Dreiecke sind zufällig ähnliche Dreiecke. Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke, deren entsprechende Winkel gleich und deren entsprechende Seiten proportional sind. Die Hypothenusen der drei Dreiecke sind jeweils die Hypothenuse, die Kathete und die Sehne des ursprünglichen Dreiecks. Einstein zeichnete dann drei Quadrate unterschiedlicher Größe, wobei er die Hypothenusen der drei Dreiecke als Seiten des Quadrats verwendete und die Flächen der drei Quadrate jeweils die Hypothenuse², die Kathete² und die Sehne² waren. Da die drei Dreiecke ähnlich sind, ist das Verhältnis jedes Dreiecks zum entsprechenden Quadrat dasselbe.

Das heißt, die Summe der Flächen der beiden kleinen Dreiecke ist gleich der Fläche des großen Dreiecks, also ist die Summe der Flächen der beiden kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats.

Da die Flächen der drei Quadrate jeweils Hypothenuse², Kathete² und Sehne² sind, können wir es wie folgt schreiben: Hypothenuse²+Kathete²=Sehne². Natürlich ist auch Einsteins Beweismethode relativ einfach, aber im Vergleich dazu scheint die von Zhao Shuang einfacher zu sein. Aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse. Hier steckt ein versteckter Aspekt: ​​Einstein hätte eigentlich kein Quadrat zeichnen müssen. Da bei ähnlichen Dreiecken das Verhältnis ihrer Flächen gleich dem Verhältnis der Quadrate ihrer Seitenlängen ist, können wir direkt schlussfolgern, dass „Hypotenuse²+Kathete²=Sehne²“, was die Einfachheit mit der von Zhao Shuang vergleichbar macht. Warum also hat Einstein unnötigerweise ein Quadrat gezeichnet? Dies liegt wahrscheinlich daran, dass der 11-jährige Einstein nicht wusste, dass das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke dem Verhältnis der Quadrate ihrer Seitenlängen entspricht.

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